Kezdőlap


Feladat:	380. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor S. , Zatykó L.
Füzet:	1952/április, 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 380. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Láttuk, hogy a hatványközepek, ha a kitevőt nagyon kicsinek választjuk, tetszés szerint közel jutnak a mértani középhez. Kérdés most, mit tudunk mondani a hatványközepekről, ha a kitevő ,,nagyon nagy'' lesz és ha ,,nagyon nagy'' negatív értékeket vesz fel. Legyenek $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{k}$ , az adott nem negatív számok. Rendezzük őket mindjárt nagyság szerint, tehát legyenek pl. $a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{k}$ és ne legyenek az összes $a$ -k egyenlők. Képezzük a $q_{1}$ , $q_{2}$ , $...$ , $q_{k}$ (pozitív) súlyokkal súlyozott $r$ -edik hatványközepet, tehát ha $q_{1} + q_{2} + ... + q_{k} = 1$ , a

\begin{matrix} H_{r} = {(q_{1} a_{1}^{r} + q_{2} a_{2}^{r} + ... + q_{k} a_{k}^{r})}^{1 / r} \end{matrix}

kifejezést.
Ez sem túl nagy, sem túl kicsi nem lehet. Legyen először

r

pozitív. Csökkentsük egyrészt a kifejezést úgy, hogy csak az utolsó tagot tartjuk meg belőle, másrészt növeljük a kifejezést, ha mindegyik

a

helyett a legnagyobbat írjuk. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} q_{k}^{1 / r} a_{k} \leq H_{r} \leq {[(q_{1} + q_{2} + ... + q_{k}) a_{k}^{r}]}^{1 / r} = a_{k} . \end{matrix}

Ha viszont a kitevő

- r

negatív szám, (tehát a fenti kifejezés tulajdonképpen nevezőben áll és ott is az

a

-k hatványainak reciprokai állnak), akkor nagyobbítjuk a kifejezés értékét, ha tagokat elhagyunk, pl. csak az elsőt tartjuk meg, viszont kisebbítjük, ha az egyes tagokat nagyobbítjuk pl. minden

a

-nak a

- r

-edik hatványa helyébe

a_{1}^{r}

-t írunk. Így azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(1 / q_{1})}^{1 / r} a_{1} = {(q_{1} a_{1}^{- r})}^{- 1 / r} > H_{r} \geq {[(q_{1} + q_{2} + ... + g_{k}) a_{1}^{- r}]}^{- 1 / r} = a_{1} . \end{matrix}