Kezdőlap


Feladat:	360. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dancs I. , Durst E. , Hraskó P. , Kántor S. , Keszei J. , Kovács J. , Pergel J. , Schmidt E. , Szabó J. , Szathury Éva , Veszprémi áll. ált. g. mat. szakköre , Villányi O. , Zatykó L.
Füzet:	1952/március, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 360. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ilyen számok általános alakja

\begin{matrix} 10^{2 n - 1} + 10^{2 n - 2} + ... + 10^{n} + 5 \cdot 10^{n - 1} + 5 \cdot 10^{n - 2} + ... + \\ + 5 \cdot 10^{1} + 6 \end{matrix}

vagyis a mértani sor összegképletét alkalmazva

\begin{matrix} 10^{n} \frac{10^{n} - 1}{10 - 1} + 50 \frac{10^{n - 1} - 1}{10 - 1} + 6 = \frac{10^{2 n} - 10^{n} + 5 \cdot 10^{n} - 50 + 54}{9} = \\ = \frac{10^{2 n} + 4 \cdot 10^{n} + 4}{9} = {(\frac{10^{n} + 2}{3})}^{2} \end{matrix}

és

\frac{10^{n} + 2}{3}

egész szám, mert

10^{n} + 2

jegyeinek összege 3, tehát e szám osztható 3-mal. Könnyen beláthatjuk, hogy a négyzetgyök

n - 1

darab hármas és egy befejező négyes számjeggyel írható le. Például

\begin{matrix} 111 556 = 334^{2} = {(\frac{10^{3} + 2}{3})}^{2} . \end{matrix}