Kezdőlap


Feladat:	133. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beleznay F. , Beliczky G. , Benkő B. , Biczó G. , Csiszár I. , Deseő Katalin , Harza T. , Kálmán Gy. , Komjátszegi Z. , Krammer Gy. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Lukács E. , Orosz Á. , Orosz A. , Pátkai Gy. , Quittner Pál , Rázga T. , Roboz Ágnes , Szabados J. , Székely T. , Szélba Márta , Szendrei I. , Szentai Endre , Takács J. , Tolnai T. , Tóth Ágota , Uray L. , Ványai L. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1953/december, 149 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 133. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) Egyenlőtlenségünk így is írható

\begin{matrix} \frac{x (x + 1)}{x - 1} - 3 = \frac{x (x + 1) - 3 (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = \frac{{(x - 1)}^{2} + 2}{x - 1} > 0. \end{matrix}

x = 1

értéket kizárjuk, mert ez esetben a baloldalon álló tört nincs értelmezve. Mivel a számláló mindig pozitív, a nevező pedig csak

x > 1

esetén pozitív, azért egyenlőtlenségünk

\begin{matrix} x > 1 \end{matrix}

esetén, és csakis akkor, igaz.
b) Egyenlőtlenségünket ismét átalakítjuk hasonló módon

\begin{matrix} \frac{x (x + 1)}{x - 1} - 6 = \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 1} = \frac{(x - 2) (x - 3)}{x - 1} > 0. \end{matrix}

x = 1

értéket ismét ki kell zárni.
A haloldalon pozitív, ha
1. a számláló mindkét tényezője és a nevező is pozitív. Ez teljesül, ha

\begin{matrix} x > 3. \end{matrix}

2. A számláló mindkét tényezője negatív és a nevező pozitív. Ez az

\begin{matrix} 1 < x < 2 \end{matrix}

értékekre teljesül.
3. A számláló két tényezője ellentétes előjelű (tehát

2 < x < 3

), de ugyanakkor a nevező negatív

(x < 1)

, ilyen érték azonban ‐ mint látjuk ‐ nincs.
A megoldás tehát

\begin{matrix} 1 < x < 2, 3 < x . \end{matrix}

Szentai Endre (Bp., VI., Kölcsey g. II. o. t.)

II. megoldás: a) Az

x = 1

értéket kizárjuk.
1. Ha

x - 1 > 0

, vagyis

x > 1

, akkor

(x - 1)

-gyel szorozva egyenlőtlenségünk mindkét oldalát, az egyenlőtlenségi jel változatlan marad:

\begin{matrix} x (x + 1) > 3 (x - 1), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2 > 0. \end{matrix}

x

minden értékeinél teljesül.
2. Ha

x < 1

, azaz

x - 1 < 0

, akkor

(x - 1)

-gyel szorozva egyenlőtlenségünk mindkét oldalát az egyenlőtlenségi jel megfordul:

\begin{matrix} x (x + 1) < 3 (x - 1), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2 < 0, \end{matrix}

amely egyenlőtlenség semmiféle valós

x

érték nem elégíti ki.
Tehát a megoldás 1. alapján

\begin{matrix} x > 1. \end{matrix}

b) Az

x = 1

értéket ismét kizárjuk.
1. Ha

x \geq 1

, vagyis

x - 1 > 0

, akkor

\begin{matrix} x (x + 1) > 6 (x - 1), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) > 0 \end{matrix}

mi teljesül, ha

\begin{matrix} x > 3, vagy x<2. \end{matrix}

2. Ha

x < 1

, vagyis

x - 1 < 0

, akkor

\begin{matrix} x (x + 1) < 6 (x - 1) \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) < 0. \end{matrix}

Ami csak

2 < x < 3

esetén teljesül, de ez ellentmond a feltevésnek

(x < 1)

Tehát a megoldás 1. alapján

\begin{matrix} x > 3, 1 < x < 2. \end{matrix}

Quittner Pál (Bp., I., Petőfi g. II. o. t.)