Kezdőlap


Feladat:	132. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási L. , Aujeszky G. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beliczky G. , Béres I. , Boros P. , Csiszsár I. , Dominyák I. , Edőcsényi L. , Gyenes T. , Harza T. , Kálmán Gy. , Katona P. , Kirz J. , Kocsis S. , Kovács I. , Krammer G. , Kulcsár Zsuzsa , Lábos E. , Lackner Györgyi , Lukács Erzsébet , Orosz A. , Orosz Á. , Pasitka B. , Pátkai Gy. , Quittner P. , Razga T. , Roboz Á. , Szabados J. , Szabó E. , Székely T. , Szendrei I. , Szentai E. , Tarlacz L. , Tolnai T. , Tóth Ágota , Uray L. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1953/december, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 132. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1)-ből

\begin{matrix} lg y = {(lg x)}^{lg x}, \end{matrix}

amely érték (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} {(lg x)}^{lg x} \cdot {(lg x)}^{lg 2} = {(lg x)}^{lg x} \cdot 10^{(lg lg x) 2} \end{matrix}

(3)

{(lg x)}^{lg x}

a csakis

lg x = 0

esetén (azaz, ha

x = 1

) lehetne

0

, de akkor

{(lg x)}^{lg x}

-nek nincs értelme. Tehát az

x = 1

értéket ki kell zárni és így

{(lg x)}^{lg x}

-szel oszthatjuk. (3) mindkét oldalát:

\begin{matrix} {(lg x)}^{lg 2} = 10^{{(lg lg x)}^{2}} \end{matrix}

A jobboldal pozitív lévén, vehetjük mindkét oldal

10

alapú logaritmusát

\begin{matrix} lg 2 \cdot lg lg x = {(lg lg x)}^{2} \end{matrix}

(4)

(4) teljesül elsősorban, ha

\begin{matrix} lg lg x = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} lg x = 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = 10, y_{1} = 10. \end{matrix}

Feltéve, hogy

lg lg x \neq 0

, akkor (4)-et

lg lg x

-szel osztva

\begin{matrix} lg 2 = lg lg x, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} lg x = 2, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{2} = 10^{2} = 100, y_{2} = {10^{2}}^{2} = 10^{4} = 10 000. \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a nyert gyökök tényleg kielégítik egyenletrendszerünket.

Lukács Erzsébet (Nagykanizsa, vegyip. techn. II. o. t.)