Feladat: 129. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakó L. ,  Bartha J. ,  Baumann F. ,  Beke Éva és Mária ,  Beke Gy. ,  Beliczky G. ,  Benkó B. ,  Benkő B. ,  Biczó Géza ,  Biszterszky Sára ,  Csiszár I. ,  Edöcsény L. ,  Forgács G. ,  Frank Gy. ,  Gulácsy Sára ,  Harza T. ,  Hegyi J. ,  Kálmán Gy. ,  Katona P. ,  Kirz J. ,  Kiss P. ,  Komjátszegi L. ,  Kovács J. ,  Lackner Györgyi ,  Libisch R. ,  Mecseki A. ,  Morelli Klára ,  Nekovetics O. ,  Orlik P. ,  Orovecz F. ,  Pasitka E. ,  Perneczky L. ,  Poór I. ,  Pölöskey I. ,  Quittner P. ,  Rázga T. ,  Roboz Ágnes ,  Szendrei I. ,  Szentai B. ,  Szerb Mária ,  Takács J. ,  Tolnai T. ,  Vértes P. ,  Zsomok Z. 
Füzet: 1953/december, 144 - 145. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/április: 129. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott kör középpontját O-val, sugarát r-rel, az adott egyeneseket a-val és b-vel, az általuk bezárt szöget γ, ill. 180-γ-val, az adott pontot pedig (amely bárhol lehet: a körön belül, a körön kívül vagy a körön) P-vel. Ha a keresett ABC háromszög a-, ill. b-vel párhuzamos oldalait BC, ill. AC-vel jelöljük, akkor a C csúcsnál lévő szög γ vagy 180-γ és így a szemközti AB=c oldal a kerületi szögek tétele alapján a γ szög által meghatározott állandó hosszúságú húr (c=2rsinγ). Utóbbiak, az adott körrel koncentrikus kört burkolnak, amelynek sugara az előbbiek alapján szerkeszthető (ϱ=rcosγ). Ezen kör érintői közül kell kiválasztani a P-n átmenőket.

 
 

A szerkesztés menete: Az adott körön felveszünk egy tetszőleges C pontot, amelyen át húzunk a- és b-vel párhuzamosakat (l. ábrát): E párhuzamosoknak másik metszéspontja a körrel szolgáltatja az AB húrt, amelynek O középpontú érintőköréhez a P pontból érintőket szerkesztve (mondhatjuk így is: az AB húrt elforgatjuk O körül, amíg át nem halad a P ponton), nyerjük az A1B1 és A2B2 háromszög oldalakat. Ezen oldalak végpontjain át az a és b egyenesekkel párhuzamosakat húzva, nyerjük a körön a C1, ill. C2 harmadik csúcspontot, amelyeknél fekvő szög ‐ a P helyzetétől függően ‐ vagy mindkettő γ, vagy mindkettő 180-γ vagy az egyik γ másik 180-γ, mint ábránkon. (Az A1B1, ill. A2B2, pontok mindegyikén át a-val és b-vel egyaránt húzható párhuzamos és így 4 háromszöget nyerünk, azonban ezek közül csak kettő felel meg a feladat követelményeinek. A másik két háromszög csúcsa nem az adott körre esik, hanem az adott körnek a szemközti háromszögoldalra vonatkozó tükörképére.)
A megoldások száma általában 2, 1, vagy 0, aszerint, amint OP≷ϱ(=rcosγ), de ezen P pontok közül is vannak kivételek. Ugyanis, ha a P ponton át szerkesztett c oldalak közül az egyik (vagy esetleg mindkettő) párhuzamos a-val, ill. b-vel, akkor a C pont az A, ill. B ponttal egybeesik a 4 kritikus (K1K2,K3,K4) pont egyikében (amelyekben a körérintő párhuzamos b-vel, ill. a-val) és ez esetben a háromszög egyenessé fajul, ami nem tekinthető megoldásnak. Tehát, ha a P pont rajta van a ϱ sugarú körnek a, ill. b-vel párhuzamos a', a'', b', b'' érintőinek egyikén, akkor a megoldások száma 1-gyel csökken (általában 1-re; 0-ra, ha P az érintő pontban van), ha pedig a P pont 2 ilyen érintő metszéspontjában van (4 ilyen pont van a síkban), akkor nincs megoldás, annak ellenére, hogy OP>ϱ.
 

Biczó Géza (Bp., II., Ráköczi g. II. o. t.)