Feladat: 128. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Forgács Gábor ,  Katona Péter 
Füzet: 1953/december, 143 - 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Thalesz-kör, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/április: 128. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I.megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A B és C csúcspontokból kiinduló magasságvonalak talppontjait B1, ill. C1-gyel jelölve, az MB1AC1 négyszög két szemben fekvő szöge külön-külön derékszög és így a másik két szög összege is 180∘, vagyis az M-nél fekvő szög 180∘-α, amiből következik, hogy ennek csúcsszöge a BMC∢ is 180∘-α. Tehát M rajta van az a oldalhoz tartozó 180∘-α szögnek megfelelő látóköríven.
A szerkesztés menete: Az a és α adatokból megszerkesztjük a BC=a oldalt és a háromszög köré írt kört. (1. ábra)

 
 
1. ábra
 

M mértani helye egyrészt a 180∘-α szögnek megfelelő látókörív, amely nem más, mint a köréírt kör azon BC ívének tükörképe az a oldalra vonatkozólag, amelyen nincs rajta az A pont. (Ha α hegyesszög ‐ mint az 1. ábrán ‐ akkor a kisebbik körívnek tükörképe.) Másrészt M mértani helye a BC-nek F felezőpontja körül az adott d távolsággal, mint sugárral, rajzolt kör. Az M ponton átmenő és a BC-re merőleges magasságvonal metszi ki az α látószögnek megfelelő körívből az A csúcspontot.
A megoldhatóság feltétele, hogy a d sugarú kor messe
1. α<90∘ esetén a félkörnél kisebb tükörkép körívet,
2. α>90∘ esetén a félkörnél nagyobb tükörkép körívnek azt a részét, amelynek merőleges vetülete az a oldal hordozóján éppen a BC szakasz. mert tompaszög csúcspontjából kiinduló magasság talppontja mindig a szemközti oldalon és nem annak meghosszabbításán van. (L. 2. (ábrát.).
 
 
2. ábra
 

A megoldások száma legfeljebb 1. (Egybevágó háromszögek azonos megoldásoknak számítanak.) α=90∘ esetén csak akkor lehet megoldás, ha d=a2 és ilyenkor a feladat határozatlan, mert M=A a Thales-körnek bármely pontja lehet.
 

Katona Péter (Bp., IX., Apáczai Csere g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Felhasználjuk azt a tételt, amely szerint a magasságpontnak a háromszög oldalaira vonatkozó tükörképe rajta van a háromszög köré írt körön. Az M pontnak az a oldalra vonatkozó tükörképe M' az F ponttól ugyancsak d távolságnyira van, tehát az F körül d sudárral rajzolt kör metszi ki a köré írt körből az M' pontot. A 2. ábránkon az α-t tompaszögnek vettük.
 

Forgács Gábor (Kecskemét, Katona József g. I. o. t.)