Kezdőlap


Feladat:	127. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Harza Tibor , Tolnai Tibor
Füzet:	1953/december, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/április: 127. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes azonosság

\begin{matrix} cos^{2} x = 1 - sin^{2} x . \end{matrix}

Mindkét oldalt köbre emelve

\begin{matrix} cos^{6} x = 1 - 3 sin^{2} x + 3 sin^{4} x - sin^{6} x \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} sin^{6} x + cos^{6} x - 1 = 3 sin^{2} x (1 - sin^{2} x) = - 3 sin^{2} x cos^{2} x . \end{matrix}

Mindkét oldalt köbre emelve megkapjuk a bebizonyítandó azonosságot. Ezzel tételünket bebizonyítottuk, mert helyes azonosságból indultunk ki és mindenütt csak egyértelmű műveleteket hajtottunk végre.

Harza Tibor (Székesfehérvár, József Attila g. I.o.t.)

II. megoldás: A baloldal két szám köbének összege, amely felbontható az

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

azonosság alapján két tényező szorzatára, amelynek egyike a két szám összege. Elég utóbbiról bizonyítani, hogy nullával egyenlő, vagyis bizonyítandó, hogy nullával egyenlő, vagyis bizonyítandó, hogy

\begin{matrix} [{(sin^{2} x)}^{3} + {(cos^{2} x)}^{3} - 1] + 3 sin^{2} x cos^{2} x = 0. \end{matrix}

Legyen

sin^{2} x = u

, akkor

cos^{2} x = 1 - u

, és így (1) bal oldala

\begin{matrix} u^{3} + {(1 - u)}^{3} - 1 + 3 u (1 - u) = u^{3} + 1 - 3 u + 3 u^{2} - u^{3} - 1 + 3 u - 3 u^{2}, \end{matrix}

ami tényleg ‐

u

-tól függetlenül ‐ azonosan egyenlő

0

-val.

Tolnai Tibor (Szombathely, Nagy Lajos g. II.o.t.)