Kezdőlap


Feladat:	123. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakó L. , Balogh J. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Biczó G. , Csiszár I. , Darvas Zsuzsa , Edöcsényi L. , Fuchs T. , Kálmán Gy. , Katona P. , Krammer G. , Lackner Györgyi , Orosz A. , Quittner P. , Schick Gy. , Szendrei I. , Szentai E. , Tarlacz L. , Tolnai Tibor , Uray L. , Zsombok Zs.
Füzet:	1953/december, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 123. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lehetséges esetek száma $C_{32}^{8} = (\binom{32}{8})$ . Kedvezőek azok a $8$ -ad-osztályú kombinációk, amelyekben $4$ alsó van. Ilyen csoport nyilván annyi van, ahány $4$ -ed osztályú kombináció képezhető a többi $28$ lapból, vagyis $C_{28}^{4} = (\binom{28}{4})$ , és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} v_{1} = \frac{(\binom{28}{4})}{(\binom{32}{8})} & = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{32 \cdot 31 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 25} = \\ = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29} = \frac{7}{4 \cdot 31 \cdot 29} = \frac{7}{3596} (\approx 0, 002) . \end{matrix}

b) A lehetséges esetek száma változatlan

(\binom{32}{8})

. Kedvezőek a

8

7

6

5

piros lapot tartalmazó csoportok. Számítsuk ki rendre e csoportok számát.

8

piros lapot csak egyetlen egy

8

-ad osztályú kombináció tartalmaz.

7

piros lapot tartalmazó. csoportokat úgy képezhetünk, hogy a

8

piros lapból kiválasztunk

7

-et

(\binom{8}{7})

-féleképpen és minden ilyen

7

piros lapból álló kombinációt párosítunk a

24

nem piros lap mindegyikével. Tehát az összes ilynemű csoport száma

(\binom{8}{7}) \cdot 24 = 8 \cdot 24 = 192

Hasonló meggondolással a

6

piros lapot tartalmazó csoportok száma

(\binom{8}{6}) (\binom{24}{2}) = \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2}, \frac{24 \cdot 23}{1 \cdot 2} = 28 \cdot 12 \cdot 23 = 7728

, és az

5

piros lapot tartalmazó csoportok száma

(\binom{8}{5}) (\binom{24}{3}) = 113 344

.
Tehát a keresett valószínűség

\begin{matrix} v_{2} = \frac{1 + 192 + 7728 + 113 344}{(\binom{32}{8})} = \frac{121 265}{10 518 300} = \frac{24 253}{2 103 660} (\approx 0, 012) . \end{matrix}

Amint látjuk mindkét valószínűség elég kicsiny, de az utóbbi mégis kb.

6

-szor akkora, mint az előbbi.

Tolnai Tibor (Szombathely, Nagy Lajos g. II.o.t.)