Kezdőlap


Feladat:	121. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakó L. , Balogh Szabó L. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Beliczky G. , Benedek T. , Biczó G. , Boros P. , Boschán P. , Csiszár I. , Deseő Katalin , Dósa István , Edöcsény L. , Frank Gy. , Fuchs T. , Gyenes Teréz , Harza T. , Kálmán Gy. , Katona P. , Kirz J. , Krammer G. , Krizsán Gy. , Kulcsár Zsuzsa , Lábos E. , Lackner Györgyi , Mecseki A. , Mészáros F. , Molnár L. , Orlik Péter , Pasitka B. , Pintér L. , Quittner P. , Reichmann R. , Roboz Ágnes , Schick Gy. , Szentai E. , Tarlacz L. , Uray L. , Várnai I. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1953/december, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 121. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ez esetben már a fiók kihúzása dönt. Mindkét fiók kihúzása egyenlő valószínű, de csak egyik kihúzása kedvező és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} v_{1} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

b) Az érmét tartalmazó fiók kihúzásának valószínűsége

\frac{1}{2}

, mint az a) esetben. Ha már kihúztuk a kedvező fiókot, akkor még mindig a két doboz között kell választani. Az érmés doboz választásának valószínűsége szintén

\frac{1}{2}

. Mivel a fiók kihúzása és a doboz választása egymástól független események, ezért a szorzástétel alapján a keresett valószínűség

\begin{matrix} v_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

c) Ez esetben az érme

\frac{1}{3}

valószínűséggel van bármelyik dobozban. Az érme megtalálásának kétféle módja van:
1. Kihúzzuk az

1

dobozt tartalmazó fiókot, aminek valószínűsége

\frac{1}{2}

. Annak a valószínűsége, hogy ebben a dobozban van az érme

\frac{1}{3}

Tehát ily módon az érmét

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

valószínűséggel találjuk meg.
2. Kihúzzuk a

2

dobozt tartalmazó fiókot, aminek valószínűsége

\frac{1}{2}

. Annak valószínűsége. hogy az érem ebben a fiókban van

\frac{2}{3}

. A helyes doboz választásának valószínűsége ismét

\frac{1}{2}

. A szorzástétel felhasználásával, annak valószínűsége, hogy ilyen módon találjuk meg az érmét

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

.
Mivel a fenti két eset kizárja egymást, azért az összeadási tételt (vagy-vagy) alkalmazva a keresett valószínűségén

\begin{matrix} v_{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Úgy is okoskodhattunk volna: A három doboz most teljesen egyenlő szerepet játszik, tehát az érmés doboz megtalálásának valószínűsége, függetlenül a fiókoktól, ugyanaz mint bármely másik dobozé, vagyis

\frac{1}{3}

.
Helytelen azonban a következő gondolatmenet. Vagy az a), vagy a b) esettel állunk szemben. Az előbbi esetben

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

, az utóbbiban

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

valószínűséggel találjuk meg az érmét, tehát a keresett valószínűség

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

. A hiba ott van, hogy az a) és b) esetek nem egyenlően valószínűek, mert az a) eset valószínűsége

\frac{1}{3}

, míg a b) eseté

\frac{2}{3}

. Tényleg

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

Orlik Péter (Bp., V., Eötvös g. I.o.t.)