Kezdőlap


Feladat:	118. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakó L. , Bártfai Pál , Beke Éva és Mária , Beleznay F. , Beliczky G. , Biczó G. , Boros P. , Csiszár I. , Forgó G. , Frank Gy. , Fuchs T. , Harza T. , Kálmán Gy. , Kirz J. , Kovács István , Krammer G. , Kulcsár Zsuzsa , Lackner Györgyi , Máthé Á. , Mecseki A. , Orlik P. , Orosz A. , Pintér L. , Quittner P. , Rázga T. , Roboz Ágnes , Sallai A. , Szabó Endre , Székely T. , Szentai E. , Tarlacz L. , Tolnai T. , Uray L. , Vas P. , Vértes P. , Zsombok Z.
Füzet:	1953/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 118. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk így is írható

\begin{matrix} 4 x^{2} + x + 4 p = 0 \end{matrix}

a) Ismeretes, hogy az

a x^{2} + b x + c = 0

másodfokú egyenlet gyökeinek elemi szimmetrikus formái

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

és

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

\begin{matrix} \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2 c}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{b^{2} - 2 a c}{a c} . \end{matrix}

Jelen esetben

a = 4

b = 1

és

c = 4 p

, tehát

\begin{matrix} \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x^{2}}{x_{1}} = \frac{1 - 32 p}{16 p} = - \frac{9}{4}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} p = - \frac{1}{4} . \end{matrix}

b) Feladatunk értelmében a gyökök

x_{1}

, és

x_{1}^{2} - 1

.
Tehát

\begin{matrix} x_{1} + (x_{1}^{2} - 1) = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{4}, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x_{1} (x_{1}^{2} - 1) = \frac{c}{a} = p . \end{matrix}

(2)

(1)

x_{1}

-re nézve másodfokú egyenlet, amiből

x_{1}

kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért jelöljük

x_{1}

-et

y

-nal, akkor

\begin{matrix} y^{2} + y - 1 = - \frac{1}{4}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 4 y^{2} + 4 y - 3 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y_{1} = \frac{1}{2}, y_{2} = - \frac{3}{2} . \end{matrix}

y = x_{1}

ezen értékeit (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} p_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - 1) = \frac{1}{2} (- \frac{3}{4}) = - \frac{3}{8}, \\ p_{2} = (- \frac{3}{2}) (\frac{9}{4} - 1) = (- \frac{3}{2}) \frac{5}{4} = - \frac{15}{8} . \end{matrix}

Bártfai Pál (Bp., I., Petőfi g. II. o. t.)