Kezdőlap


Feladat:	117. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh J. , Bártfai P. , Biczó G. , Csiszár I. , Jávor Gy. , Kálmán Gy. , Mecseki A. , Orosz A. , Quittner P. , Rázga T. , Székely T. , Szentai F. , Szlanka I. , Takács T. , Zsombok Z.
Füzet:	1953/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Egyenletek grafikus megoldása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 117. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Távolítsuk el a szokásos módon a gyökjeleket. Vigyük át a baloldal második tagját a jobboldalra, akkor négyzetre emelés, rendezés és $2$ -vel való egyszerűsítés után

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{x - 4} - 4 = \sqrt[]{4 x - 16 \sqrt[]{x - 4}} \end{matrix}

Még egyszer négyzetre emelve és rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} 0 = 0. \end{matrix}

Eszerint tehát azonossággal volna dolgunk, de mégsem mondhatjuk, hogy

x

minden értéke kielégíti egyenletünket, mert a kétszeri négyzetre emelés folytán kerülhetett be hamis gyök, sőt végtelen sok hamis gyök is. Meg kell tehát vizsgálni, hogy eredeti egyenletünket milyen

x

értékek elégítik ki.
Mindenekelőtt állapítsuk meg, hogy egyenletünk csak akkor van értelmezve, ha

x \geq 4

Eredeti egyenletünk így is írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{x - 4} - 3)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{x - 4} - 4)}^{2}} = 1, \end{matrix}

Vizsgáljuk meg, hogyan változik a baloldal, ha

x

-et

4

-től indulva növeljük. Mivel a négyzetgyökön annak pozitív értékét szoktuk érteni, így az első négyzetgyök

3 - 2 \sqrt[]{x - 4}

-et jelent, amíg

2 \sqrt[]{x - 4} \leq 3

azután pedig

2 \sqrt[]{x - 4} - 3

-at. Mivel az előbbi egyenlőtlenség, mindkét oldalán pozitív szám áll, vagy

0

, ha

x \geq 4

, így négyzetre emelhetünk és kapjuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{x - 4} - 3)}^{2}} = {\begin{matrix} 3 - 2 \sqrt[]{x - 4}, ha 4 \leq & x \leq \frac{25}{4}, \\ 2 \sqrt[]{x - 4} - 3, ha & x \geq \frac{25}{4}, \end{matrix} \end{matrix}

hasolóan

\begin{matrix} \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{x - 4} - 4)}^{2}} = {\begin{matrix} 4 - 2 \sqrt[]{x - 4}, ha & 4 \leq x \leq 8, \\ 2 \sqrt[]{x - 4} - 3, ha & x \geq 8, \end{matrix} \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{x - 4} - 3)}^{2}} + \sqrt[]{{(2 \sqrt[]{x - 4} - 4)}^{2}} = {\begin{matrix} 7 - 4 \sqrt[]{x - 4}, & ha & 4 \leq x \leq \frac{25}{4} \\ 1, & ha & \frac{25}{4} \leq x \leq 8 \\ 4 \sqrt[]{x - 4} - 7, & ha & 8 \leq x \end{matrix} \end{matrix}

A függvény menetét az ábrán látható görbe szemlélteti.

Látjuk tehát, hogy az (1) egyenlet minden olyan

x

-re teljesül, amely

\frac{25}{4} = 6, 25

és

8

közé esik (a határpontokat is beleértve) tehát végtelen sok

x

értékre, azonban távolról sem minden

x

értékre. Az ezektől különböző

x

értékék nem elégítik ki eredeti egyenletünket, hanem csak a kétszeri négyzetre emelés után nyert egyenlőségnek tesznek eleget.

Megjegyzés: Ha a megoldás folyamán helytelenül különböző intervallumokban érvényes kifejezéseket kapcsolunk össze, akkor kapjuk

≫

gyök

≪

gyanánt az

x = \frac{25}{4}

ill.

x = 8

értékeket, mint a két-két szomszédos intervallumnak közös határpontját.