Kezdőlap


Feladat:	112. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Amrich L. , Aujeszky G. , Bakós T. , Bártfai P. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beleznay F. , Biczó G. , Csiszár I. , Deseő Katalin , Dudás Margit , Frühling J. , Fuchs T. , Gödény I. , Harza T. , Juhász Anna , Kálmán Gy. , Kása I. , Koller Anna , Korompay Valéria , Kovács Klára , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Makai I. , Nagy Sándor , Orlik P. , Osváth Etelka , Pátkai Gy. , Quittner P. , Schermann Mária , Siegler Gy. , Szalai Éva , Szentai E. , Szerb Márta , Tarlacz László , Tárnai Erzsébet , Tolnai T. , Uray L. , Vértes P. , Weiling K.
Füzet:	1953/november, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Terület, felszín, Érintősokszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/február: 112. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás: Bontsuk a sokszöget háromszögekre úgy, hogy a kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsával. Ha az érintő sokszög oldalait $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ -nel jelöljük, akkor területe a háromszögek területének összege, vagyis

\begin{matrix} t = \frac{a_{1} r}{2} + \frac{a_{2} r}{2} + ... + \frac{a_{n} r}{2} = \frac{r}{2} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) = \frac{r}{2} \cdot 2 s = r s . \end{matrix}

A szerkesztendő szabályos háromszög területe, ha oldalát

x

-szel jelöljük,

\frac{x^{2}}{4} \sqrt[]{3}

.
Tehát

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} \sqrt[]{3} = r s, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x^{2} = \frac{4 r s}{\sqrt[]{3}} = \frac{4 r s \sqrt[]{3}}{3} = \frac{2 s}{3} \cdot 2 r \sqrt[]{3} \end{matrix}

Tehát

x

mértani középarányos

\frac{2}{3} s

és

2 r \sqrt[]{3}

között.

2 r \sqrt[]{3}

-at pl. olyan derékszögű háromszög befogójaként kapjuk, melynek átfogója

4 r

és másik befogója

2 r

. (

r \sqrt[]{3}

az adott körbe írt szabályos háromszög oldalaként is kapható.)

1. ábra

A szerkesztés, amely az 1. ábráról leolvasható mindig elvégezhető, de értelme csak akkor van, ha

2 s > 2 π r

, vagyis

s > π r

, mert a sokszög csak akkor létezik, ha kerülete nagyobb a kör kerületénél.

Tarlacz László (Szombathely, Nagy Lajos g. 11. o. t.)

II. megoldás: Láttuk, hogy az érintősokszög területe

(s r = \frac{s \cdot 2 r}{2})

olyan háromszög területével egyenlő, amelynek pl.

A B = c

oldala

s

és

m_{c}

magassága

2 r

. Az

α

szög még szabadon választható. Legyen

α = 60^{\circ}

(2. ábra).

2. ábra

Képzeljük az

A B C ▵

-et átalakítva egy vele egyenlő területű

A P Q ▵

-gé közös A csúcsponttal és közös

α

szöggel. Ezen esetben nyilván

\begin{matrix} A B \cdot A C sin α = A P \cdot A Q sin α, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A B \cdot A C = A P \cdot A Q \end{matrix}

A P = A Q = x

, akkor

\begin{matrix} x^{2} = A B \cdot A C = A D \cdot A C . \end{matrix}

x

ennek alapján ismert módon szerkeszthető, amint azt a 2. ábra mutatja.

Nagy Sándor (Hajdúböszörmény, Bocskai g. II. o. t.)