|
Feladat: |
111. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bakó L. , Beke Gy. , Beliczky Géza , Biczó Géza , Fodor Ilona , Papp Judit , Pátkai György , Quittner P. , Tolnai T. |
Füzet: |
1953/november,
115 - 117. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Paralelogrammák, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Pont körüli forgatás, Hasonlósági transzformációk, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/február: 111. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A betűzést az 1. ábra mutatja.
1. ábra Pythagoras tételét írjuk fel rendre a következő négy derékszögű háromszögre : , , és .
(1) és (2) összegébe behelyettesítve (3), ill. (4)-ből ill. értékét | | vagyis
Beliczky Géza (Czelldömölk, Gábor Áron g. II. o. t.) |
II. megoldás: Bocsássuk a csúcspontból (1. ábra) a merőlegest az átlóra. , . , mert mindkettő derékszögű és egy hegyes szögük közös. Tehát | | (1) | Hasonlóképpen , és így | | (2) | (1) és (2) összege | |
Pátkai György (Bp., IX., Fáy András g. II. o. t.) |
Ez a megoldás lényegében megegyezik azzal, amikor az aránypárok helyett a és cosinusával dolgozunk. III. megoldás: Tételünket területátalakítással is bizonyíthatjuk. A pont merőleges vetülete az és oldalakra legyen ill. (2. ábra).
2. ábra Szerkesszünk fölé, téglalapot úgy, hogy , vagyis a téglalap területe . Hasonlóképpen területe . Húzzuk meg a -ból ill. -ből az és egyeneseket. Ha a keletkező paralelogrammát körül az óramutató járásával egyirányban fokkal elforgatjuk, akkor átmegy -be és pedig meghosszabbításába. Így és előbbi fokkal van elforgatva utóbbihoz képest, amiből következik, hogy és . Ha az téglalap oldalát saját meghosszabbításában eltoljuk, amíg az pont -be és a pont -be kerül, akkor a nyert paralelogramma területe nyilván egyenlő a téglalap területével, amely . Ugyanígy eltoljuk a szakaszt saját meghosszabbításában -be, akkor nyilván az paralelogramma területe is mint az téglalapé. Ha most a két paralelogramma közös oldalát toljuk el saját meghosszabbításában, amíg az pont -be és a pont -be ér, akkor a két paralelogramma átalakult a velük egyenlő területű négyzetté, amelynek területe . Tehát tényleg
Biczó Géza (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.) |
|
|