Feladat: 105. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bártfai Pál ,  Beke Gy. ,  Beleznay F. ,  Biczó G. ,  Csiszár I. ,  Kálmán Gy. ,  Quittner P. ,  Szentai E. ,  Tarlacz L. ,  Tolnai T. 
Füzet: 1953/november, 111 - 112. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Permutációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/január: 105. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a 4 zsinórt a1, a2, a3, és a4-gyel. Egy-egy zsinórról mindig csak a legalsó golyót lőhetjük le, tehát mindegyik találat a zsinór indexszámával jellemezve van. Egy 12 találatból álló sorozat pl. a következő 12 elemből álló csoporttal jellemezhető:

211333241442

Ez azonban nem egyéb, mint 12 elem permutációja, amelyek között van négyszer 3‐3 azonos elem. Ezen permutációk száma

P123,3,3,3=12!(3!)4=123456789101112123123123123==2111038752=2201680=369600.


Általában ha van n zsinór: a1,a2,...,an és mindegyik zsinóron k golyó, akkor mindegyik nk számú találatból álló sorozat egy nk elemből álló permutációval jellemezhető, amely elemek között van n számú csupa k azonos elemből álló alcsoport. E permutációk száma
Pnkk,k,...,k=(nk)!(k!)n
Ezek szerint
a) P124,4,4=12!(4!)3=34650
b) P122,2,2,2,2,2=12!(2!)6=7484000
c) P126,6=12!(6!)2=924
d) P12=12!=479001600
e) P1212=12!12!=1.
 

Bártfai Pál (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)