Kezdőlap


Feladat:	100. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Lajos , Krammer Gergely
Füzet:	1953/október, 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 100. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a téglalap rövidebb oldala $a$ , hosszabb oldala $b$ , akkor a feladat szerint

\begin{matrix} b = \sqrt[]{a (2 a + 2 b)}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b^{2} = 2 a^{2} + 2 a b, b^{2} - 2 a b - 2 a^{2} = 0, \end{matrix}

amiből (a negatív gyöktől eltekintve)

\begin{matrix} b = \frac{2 a + \sqrt[]{4 a^{2} + 8 a^{2}}}{2} = \frac{2 a + 2 a \sqrt[]{3}}{2} = a + a \sqrt[]{3} . \end{matrix}

a

\sqrt[]{3}

távolság vagy

a

és

3 a

mértani közepeként szerkeszthető, vagy pedig

a

\sqrt[]{3} = \sqrt[]{4 a^{2} - a^{2}}

alapján, mint olyan derékszögű háromszög befogója, melynek másik befogója

a

és átfogója

2 a

Almási Lajos (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Tegyük fel, hogy sikerült olyan derékszögű háromszöget szerkeszteni, amelynek átfogójára emelt magassága

b

, a befogók vetületei az átfogón:

a

és

2 a + 2 b

. (L. 1. ábrát, mely egyben a betűzést is mutatja.)
Ekkor

b

mértani középarányos az

a

oldal és a

2 a + 2 b

között.
Emeljünk az

E

és

F

pontokban az átfogóra merőlegest. A nyert

\begin{matrix} B F H ▵ ≅ C D A ▵, \end{matrix}

mert mindkettőnek egyik oldala

b

, egyik szöge derékszög és a

b

befogó mellett fekvő hegyes szögek ‐ mint merőleges szárú szögek ‐ egyenlők. Tehát

\begin{matrix} F H = D A = a, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} E G = 2 a, \end{matrix}

mert

B E G ▵ \sim B F H ▵

és

B E = 2 B F

1. ábra 2. ábra

Ezek után a szerkesztés elvégezhető (2. ábra). Először az

A G E

derékszögű háromszöget szerkesztjük meg (befogói

A E = 3 a

és

E G = 2 a

), majd a

C

pontot.

C

egyrészt rajta van az

A E

-re

D

-ben emelt merőlegesen, másrészt az

A G

átfogó fölé kifelé rajzolt Thales-körön, mivel az

A C G ∢

derékszög.

Krammer Gergely (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)