Feladat: 99. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Bakos T. ,  Balázs Á. ,  Bártfai P. ,  Beke Gy. ,  Beleznay F. ,  Beliczky G. ,  Bereczky L. ,  Blaskó I. ,  Blaubacher J. ,  Csapó Zs. ,  Cserba E. ,  Cseri B. ,  Csizek F. ,  Dévai H. ,  Dósa I. ,  Frivaldszky J. ,  Frühling J. ,  Földi L. ,  Georgi F. ,  Harza Tibor ,  Hegyaljai I. ,  Horváth I. ,  Jakubovics J. ,  Jámbor I. ,  Jermi Gy. ,  Jónás J. ,  Kauker J. ,  Kelemen P. ,  Kereskényi F. ,  Kertész Á. ,  Kovács I. ,  Kovács Klára ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Makai I. ,  Mezei J. ,  Mezőfi J. ,  Perneczky L. ,  Pintér L. ,  Plank P. ,  Quittner P. ,  Roboz Ágnes ,  Rozgonyi E. ,  Száraz I. ,  Szélba L. ,  Szendrei I. ,  Szlanka I. ,  Tarlacz L. ,  Tasnády G. ,  Tolnai T. ,  Uray L. ,  Virág Gy. 
Füzet: 1953/október, 49. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/január: 99. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra). Ha az eredménykör sugarát az adott körök r sugarával megnöveljük, akkor az így nyert kör átmegy az adott körök O1, és O2 középpontjain, és érinti az adott két kör közös külső érintőjét a két érintési pont által meghatározott szakasz M felezőpontjában.
Tehát a szerkesztés menete: Megszerkesztjük a közös külső érintő M felezőpontját. Az O1, M, O2 pontok által meghatározott kör középpontja K szolgáltatja a keresett kör középpontját. Mivel 2 közös külső érintő van, azért a megoldások száma 2, melyek tükrösek a centrális egyenesre.

 

Lackner Györgyi (Bp. V., Textilip. Techn. II. o. t.)

 
 
1. ábra        2. ábra
 

II. megoldás: A szimmetria viszonyoknál fogva a keresett K középpontú kör az O1O2 centrálist az F felezőpontjában érinti (2. ábra), tehát F a keresett kör egyik pontja és a KF sugár merőleges az O1O2 centrálisra. Ismeretes, hogy két, egymást kívülről érintő kör belső hasonlósági centruma az érintési pont. Tehát pl. az O1 középpontú adott körben meghúzva a KF-fel párhuzamos O1F' sugárt a KF iránnyal ellenkező irányban, akkor az FF' egyenes metszi ki az adott körből a T1 érintési pontot, mert F és F' a hasonlóság értelmében egymásnak megfelelő pontok.
De a hasonlóság fogalmának mellőzésével is könnyen kimutatható, hogy T1 a keresett kör érintési pontja. Elég megmutatni, hogy KF=KT1. Mivel, O1F'=O1T1=r, azért az O1 F'T1▵-ben az F' és T1-nél fekvő szögek egyenlőek. KFT1▵-ben az F∢=F'∢, mint váltószög, és a T1∢ egyenlő az előbbi T1 szöggel, mint csúcsszög. Tehát KFT1▵ egyenlőszárú vagyis KF=KT1=ϱ.
 
Harza Tibor (Székesfehérvár, József Attila g. I. o. t.)