Kezdőlap


Feladat:	263. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dávid P. , Seitz K.
Füzet:	1951/augusztus, 83 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 263. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x^{n}$ -t jelöljük $y$ -nal, akkor egyenletünket negyedfokú egyenletre vezettük vissza

\begin{matrix} y^{4} - 4 y - 1 = 0 \end{matrix}

Az egyenlet baloldalát két teljes négyzetté egészítjük ki.

\begin{matrix} y^{4} + 2 y^{2} + 1 - 2 y^{2} - 4 y - 2 = 0, \\ {(y^{2} + 1)}^{2} - 2 {(y + 1)}^{2} = 0. \end{matrix}

Vagyis

\begin{matrix} {(y^{2} + 1)}^{2} = 2 {(y + 1)}^{2} . \end{matrix}

Ezzel a feladat megoldását visszavezettük két másodfokú egyenlet megoldására.

\begin{matrix} y^{2} + 1 = \pm \sqrt[]{2} (y + 1) \\ y^{2} + \sqrt[]{2} y + 1 + \sqrt[]{2} = 0, y^{2} - \sqrt[]{2} y + 1 - \sqrt[]{2} = 0. \end{matrix}

Az első másodfokú egyenlet gyökei

\begin{matrix} y_{1,2} = \frac{- \sqrt[]{2} \pm \sqrt[]{2 - 4 - 4 \sqrt[]{2}}}{2}; \\ y_{1,2} = \frac{- \sqrt[]{2} \pm \sqrt[]{2} (\sqrt[]{- 1 - 2 \sqrt[]{2}})}{2} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} [- 1 \pm \sqrt[]{- 1 - 2 \sqrt[]{2}}] \end{matrix}

Ezek a gyökök nem valós számok.
A második egyenlet gyökei

\begin{matrix} y_{3,4} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} [1 \pm \sqrt[]{- 1 + 2 \sqrt[]{2}}] . \end{matrix}

y

ismeretében

x

értéke meghatározható.

\begin{matrix} x = \sqrt[^{n}]{y} . \end{matrix}

Ha a komplex megoldásokat is figyelembe vesszük, akkor az egyenletnek

4 n

gyöke van.

Megoldotta:Dávid P., Seitz K.

Megjegyzés: Hogy a negyedfokú egyenletnek csak két valós gyöke van az a szemléletből nyilvánvaló, ha az egyenletet grafikusan akarjuk megoldani

y = x^{4}

és az

y = 4 x + 1

egyenes mutatja, hogy a két vonalnak csak két metszéspontja van. Ez a két valós gyök a

(- 1, 0)

illetve

(1, 2)

számközben van, mert

y = x^{4} - 4 x - 1

függvény értéke az

x = - 1

helyen pozitív, a 0 helyen negatív, tehát a függvény folytonossága miatt valahol metszi az

x

tengelyt.
Ugyanez a meggondolás az

(1, 2)

számközre is.