Kezdőlap


Feladat:	269. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bór I. , Dievald Emília , Főző Éva , Rastovich Mária , Rédly Elemér , Reichlin V. , Tisovszky J , Turi I. , Zatykó L.
Füzet:	1951/augusztus, 93 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszögek szerkesztése, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 269. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen az elfelezendő távolság: $A B$ . Rajzoljunk pl. a $B$ végpontjából $A B = r$ sugárral kört, erre $A$ -ból kiindulva mérjük rá háromszor a kör sugarát, mint húrt, így eljutunk az $A$ -val diametrálisan átellenes $M$ ponthoz.

M

pontból

2 r

sugárral rajzoljunk kört, erre

A

-tól kezdve mindkét irányba mérjük fel

r

-et, így kapjuk a

P

és

Q

pontokat, az ezekből

r

sugárral rajzolt körök második metszéspontja (‐ az egyik metszéspont:

A

‐) lesz az adott távolság

M'

felezőpontja.
A szerkesztés helyessége az

A P M

és

M' A P

háromszögek hasonlóságából következik (amit az biztosít, hogy közös az

A

csúcspontnál fekvő szögük.) Miután pedig

M' A P ▵

szára feleakkora, mint az

A P M ▵

szára, alapja

A M'

is feleakkora, mint az

A P

vagy a vele egyenlő

A B

.
Megoldotta: Bór I., Dievald Emília, Főző Éva, Rastovich Mária, Tisovszky J., Turi I.

Megjegyzés: Lapunk múlt évi 1. és 2. számában Dr. Kárteszi F.: A körsorokról írt cikke foglalkozik a körre vonatkozó tükrözéssel, az inverzióval. Figyelemreméltó, hogy egyenes és kör körre vonatkozó tükörképe egyaránt kör (kivéve, ha a vonal az alapkör középpontján megy át) másfelől, hogy a körre vonatkozó tükrözések (pont, egyenes, kör tükrözése) pusztán körzővel is elvégezhetők ¹. Túlságosan messzire vezetne ezt minden alapszerkesztésre megmutatni, megelégszünk az előbbi feladat megoldásának értelmezésével.
Feladatunk lényegéhen véve az

A

B és

C D

egyenesek (l. az ábrát) metszéspontjának megszerkesztése. Válasszuk az inverzió alapkörének az

A

pont körül

r

sugárral rajzolt kört. Ez esetben

A B

, mint a kör középpontján átmenő egyenes tükörképe ismét egyenes lesz, mégpedig saját maga, a

C D

egyenes tükörképe pedig az alapkör

A

középpontján, továbbá a

C

és

D

pontokon átmenő kör, ezek

M

metszéspontját kell visszatükröznünk, hogy megkapjuk

A B

és

C D

M'

metszéspontját. Ámde a közölt szerkesztéssel tényleg a tükrözést hajtottuk végre, miután a

P A M

és

A M' P

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} A M : r = r : A M' \end{matrix}

tehát

A M \cdot A M' = r^{2}

éppen az a kapcsolat, mely a pont és körre vonatkoztatott tükörképe között fennáll.

b). I. megoldás: Az előző feladat megoldása szerint

A B

egyenesre fel tudjuk mérni bármennyiszer az

A B

távolságot (v. ö. az előbbi ábra

M

pontjának szerkesztésével) így nyerjük a

B_{1}, B_{2}, ...

pontokat, melyek egymástól

r

távolságra vannak.

Húzzunk

A

középpont körül

3 r

sugárral kört és messük el

B_{3}

ponttól

5 r

távolsággal, nyerjük az

A B

-re

A

-ban emelt merőlegesen a

C_{2}

pontot, majd a

C_{2} A B_{2}

pontokhoz szerkesszük meg az azokat, négyzetté kiegészítő

D_{2}

pontot. Ugyanígy a 3, 4, 5 Pythagorasi számok segítségével szerkeszthető meg

A B_{3}

fölé a

C_{3} A B_{3} D_{3}

4 r

oldalú négyzet is. E négyzetek átlóinak különbsége

D_{2} D_{3}

egyenlő az

r

oldalú négyzet átlójával, ennek segítségével a keresett

A B D C

négyzet is megszerkeszthető.

Rédly Elemér (Pannonhalma II. o.)

Megoldotta: Zatykó L., Főző Éva

II. megoldás: Megrajzoljuk

A

és

B

körül egyaránt az

A B = r

sugarú kört és

C

metszéspontjuktól kezdve mindkettőre még egyszer felmérjük az

r

távolságot, így a

D

és

E

pontokhoz jutunk.

Húzzunk ezután

E

-ből

E A

sugárral továbbá ugyanezzel a sugárral

D

-ből is egy-egy kört, ezek metszéspontja

F

és

C F

a keresett négyzet átlója,

E C F

derékszögű háromszög befogója

E C = r

, átfogója

E F = E A = r \sqrt[]{3}

, mert két

r

oldalú szabályos háromszög magasságából tevődik össze, így Pythagoras tétele szerint

C F = r \sqrt[]{2}

Bizonyítás nélkül közölte: Reichlin V.

¹ L. még dr. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete, (1943, Kolozsvár).