Kezdőlap


Feladat:	266. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dömölki B. , Kántor S.
Füzet:	1951/augusztus, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 266. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \end{matrix}

másodfokú diofantikus egyenlet megoldása, amint tudjuk:

\begin{matrix} x = 2 t u v, y = t (u^{2} - v^{2}), z = t (u^{2} + v^{2}) . \end{matrix}

ahol

u

és

v

közül egyik páros, a másik páratlan szám, és

u > v

;

t

tetszésszerinti pozitív egész szám.
Ebből következik már, hogy

x

mindig osztható 4-gyel.
Ha

u

és

v

közül egyik osztható 3-mal, akkor

x

hárommal is osztható. Ha nem osztható

u

vagy

v

3-mal, akkor őket 3-mal osztva vagy egyenlő maradékot adnak és ez esetben az

\begin{matrix} y = (u + v) (u - v) t \end{matrix}

szorzat második tényezője osztható 3-mal, vagy pedig az egyik maradéka 1, a másiké 2, és ez esetben

u + v

és vele, ismét

y

okvetlenül osztható 3-mal.
Vizsgáljuk most az 5-öt. Ha akár

u

, akár

v

osztható 5-tel, akkor ismét

x

osztható 5-tel.
Ha sem

u

, sem

v

nem osztható 5-tel, akkor alakjuk ilyen:

\begin{matrix} u = 5 k \pm 1 vagy u = 5 l \pm 2. \end{matrix}

és

v

alakjára is ilyen kifejezést írhatunk fel. Négyzetre emelve az utóbbi két kifejezést

\begin{matrix} u^{2} = 5 r + 1 vagy u^{2} = 5 s + 4 \end{matrix}

alakú lesz. Hasonlóan

\begin{matrix} v^{2} = 5 r_{1} + 1 vagy v^{2} = 5 s_{1} + 4 \end{matrix}

alakú. Minden esetben vagy

u^{2} - v^{2}

vagy

u^{2} + v^{2}

osztható 5-tel.
A tárgyalt esetek mindegyikére van példa. A legegyszerűbb pythagorasi számok: pl. 3, 4 és 5 mindegyikéből más-más osztható 3, 4 és 5-tel, míg a 61, 11, 60 pythagorasi számok közül 60 egyedül osztható

3 \cdot 4 \cdot 5

-tel.

Megoldotta: Dömölki B., Kántor S.