Kezdőlap


Feladat:	265. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dávid P. , ifj. Csonka P. , Seitz K. , Villányi O.
Füzet:	1951/augusztus, 85 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 265. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az a célunk, hogy ezt az egyenletrendszert helyettesítsük egy olyan egyenletrendszerrel, amelynek gyökeit már ismert összefüggések alapján meg tudjuk határozni.
Az első egyenletet négyzetre emeljük, majd levonjuk az így kapott egyenletből a másodikat, ekkor

\begin{matrix} x y + y z + z y = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk.
Felhasználva az előbbi feladatban szereplő azonosságokat

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = 1 \cdot (1 - 0) = 1, de x^{3} + y^{3} + z^{3} = \frac{89}{125} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 3 x y z = \frac{89}{125} - 1 = - \frac{36}{125} \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} x y z = - \frac{12}{125} \end{matrix}

Tehát az eredeti egyenletrendszer helyett tekinthetjük az

\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ x y + y z + z x = 0 & (*) \\ x y z = - \frac{12}{125} \end{matrix}

egyenletrendszert.
Ha

x

y

z

-t tekintjük úgy is, hogy egy harmadfokú egyenletnek gyökei, mégpedig a

(t - x) (t - y) (t - z) = 0 (gyöktényezős előállítás).

Ennek a harmadfokú egyenletnek együtthatói

t^{3}

együtthatója

= 1

t^{2}

együtthatója

= (x + y + z) = 1

t

együtthatója

= x y + y z + z x = 0

az állandó tag

\begin{matrix} - x y z = \frac{12}{125} . \end{matrix}

Vagyis az egyenlet

\begin{matrix} t^{3} - t^{2} + \frac{12}{125} = 0. \end{matrix}

Ezt a harmadfokú egyenletet azonban könnyen meg tudjuk oldani

\begin{matrix} t^{3} = t^{2} - \frac{12}{125} \end{matrix}

\frac{8}{125}

-öt levonva mindkét oldalból:

t^{3} - \frac{8}{125} = t^{2} - \frac{20}{125} = t^{2} - \frac{4}{25}

.
A jobboldalt szorzattá alakítva

t^{2} - \frac{4}{25} = (t + \frac{2}{5}) (t - \frac{2}{5})

.
A baloldalt

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

azonosság szerint felbontva

\begin{matrix} (t - \frac{2}{5}) (t^{2} + \frac{2}{5} t + \frac{4}{25}) = (t + \frac{2}{5}) (t - \frac{2}{5}) \end{matrix}

ebből

t_{1} = \frac{2}{5}

, ezen gyök figyelembevétele után

t - \frac{2}{5}

-del osztva

\begin{matrix} t^{2} - \frac{3}{5} t - \frac{6}{25} = 0, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} t = \frac{\frac{3}{5} \pm \sqrt[]{\frac{9}{25} + \frac{24}{25}}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt[]{33}}{10} \end{matrix}

És így az egyenletrendszer megoldásai:

\begin{matrix} x = \frac{2}{5}, y = \frac{3 + \sqrt[]{33}}{10}, z = \frac{3 - \sqrt[]{33}}{10} . \end{matrix}

Nyilvánvaló az egyenlet szimmetrikus felépítéséből, hogy ezen 3 érték bármelyikét tekinthetjük

x

-nek, vagy

y

-nak, vagy

z

-nek. Vagyis ennek az egyenletrendszernek három tizedes pontosságig számolva az

\begin{matrix} (x, y, z) \approx (0, 4; \end{matrix}

értékek a megoldásai tetszésszerinti sorrendben.

Megoldotta: ifj. Csonka P., Dávid P., Seitz K.

II. megoldás: Emeljük négyzetre az első egyenletet és vegyük tekintetbe a másodikat is. Akkor abból, hogy:

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (x y + y z + z x), \end{matrix}

következik, hogy

\begin{matrix} x y + y z + z x = 0. \end{matrix}

A 264*. feladat eredményének:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x), \end{matrix}

és egyenleteinknek összehasonlítása adja

x y z

értékét:

\begin{matrix} x y z = - \frac{12}{125} . \end{matrix}

x

y

és

z

tehát gyökei a következő egyenletnek:

\begin{matrix} u^{3} - u^{2} + \frac{12}{125} = 0. \end{matrix}

A harmadfokú egyenlet megoldása céljából az

x^{2}

-es tagot el akarjuk tüntetni. Ha új ismeretlennek behozzuk

v

-t:

\begin{matrix} u = v + \frac{1}{3}, \end{matrix}

akkor ennek helyettesítése után a

v

-re kapott egyenlet lesz:

\begin{matrix} v^{3} - \frac{1}{3} v + \frac{74}{27 \cdot 125} = 0. \end{matrix}

Ebből most már a harmadfokú egyenletek megoldási eljárása szerint

v

értéke meghatározható. Most azonban egyszerűen célhoz juthatunk, ha még egyszer új ismeretlent vezetünk be:

\begin{matrix} v = \frac{2}{3} w . \end{matrix}

Ekkor ugyanis az új egyenlet ilyen alakúra hozható:

\begin{matrix} 4 w^{3} - 3 w + \frac{37}{125} = 0, \end{matrix}

és ez emlékeztet a

sin 3 α = 3 sin α - 4 sin^{3} α

összefüggésre, ami így is írható:

\begin{matrix} 4 sin^{3} α - 3 sin α + sin 3 α = 0. \end{matrix}

w

tehát nem más, mint

sin α

, hogyha

\begin{matrix} sin 3 α = \frac{37}{125} = 0, 2960. \end{matrix}

Határozzuk meg tehát ebből

3 α

-t, azután a táblázatból kikereshetjük

sin α = w

értékét is.
Visszakeresve a

sin 3 α = 0, 2960

értéket, a táblázatban ezt a

17, 22^{\circ}

-nál találjuk

3 α

azonban nemcsak ekkora lehet, hanem

360^{\circ}

többszörösével több is:

\begin{matrix} 3 α = 17, 22^{\circ} + k 360^{\circ} . \end{matrix}

Csak

k = 0;