Kezdőlap


Feladat:	264. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dievald Emília , Dömölki B. , Főző Éva , ifj. Csonka P. , Kántor S. , Kovács L. , Névtelen , Sorosi M. , Szabó Magda , Szathury Éva , Tilcsek F. , Tisovszky J. , Zobor E.
Füzet:	1951/augusztus, 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 264. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $(x^{3} + y^{3} + z^{3})$ -t az ${(x + y + z)}^{3}$ -ből származtathatjuk:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} = {(x + y + z)}^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - 3 x^{2} z - 3 x z^{2} - 3 y z^{2} - 3 y^{2} z - 6 x y z . \end{matrix}

Adjunk hozzá a jobboldalhoz

3 x y z

-t és vonjuk is le belőle, hogy így szimmetrikussá tegyük.

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} = {(x + y + z)}^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - 3 x y z - \\ - 3 x^{2} z^{2} - 3 x z^{2} - 3 x y z - 3 y^{2} z - 3 y z^{2} - 3 x y z + 3 x y z \end{matrix}

{(x + y + z)}^{3}

után következő 9 tag, mint a következő két háromtagú kifejezés szorzata írható fel:

\begin{matrix} - 3 (x y + x z + y z) (x + y + z) \end{matrix}

Így az azonosság jobboldala így alakul:

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{3} - 3 (x + y + z) \cdot (x y + x z + y z) + 3 x y z \end{matrix}

x + y + z

-t kiemelve és összevonva:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = \\ = (x + y + z) [{(x + y + z)}^{2} - 3 (x y + y z + x z)] = \\ = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \end{matrix}

Megoldotta: ifj. Csonka P., Dömölki B., Dievald Emília, Főző Éva, Kovács L., Tilcsek F., Tisovszky J., Zobor E.

Osztási eljárással oldotta meg: Kántor S., Sorosi M., Szabó Magda, Szathury Éva, Névtelen.