Kezdőlap


Feladat:	259. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	ifj. Csonka P. , Kántor Sándor
Füzet:	1951/augusztus, 80. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/március: 259. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a = p^{2} + q^{2}$ . Vizsgáljuk először $a$ -nak páratlan kitevőjű hatványát.

\begin{matrix} a^{2 n + 1} = a^{2 n} \cdot a = a^{2 n} (p^{2} + q^{2}) = a^{2 n} p^{2} + a^{2 n} q^{2} = {(a^{n} p)}^{2} + {(a^{n} q)}^{2}, \end{matrix}

az összeg mindkét tagja négyzetszám. Vagyis

\begin{matrix} a^{2 n + 1} = c^{2} + d^{2}, c = a^{n} p, d = a^{n} q . \end{matrix}

Páros kitevőjű hatványokra a bizonyítás így alakul: legyen

n = 2

\begin{matrix} a^{2} = {(p^{2} + q^{2})}^{2} = {(p^{2} - q^{2})}^{2} + 4 p^{2} q^{2} = {(p^{2} - q^{2})}^{2} + {(2 p q)}^{2} . \end{matrix}

tehát

a^{2} = r^{2} + s^{2}

r = p^{2} - q^{2}

s = 2 p q

.
Ha a kitevő

2 n

(n > 1)

, akkor a számot szétbontjuk két tényező szorzatára

\begin{matrix} a^{2 n} = a^{2 n - 2} \cdot a^{2} = a^{2 n - 2} (r^{2} + s^{2}) \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a^{2 n} = t^{2} + u^{2}, t = a^{n - 1} r, u = a^{n - 1} s . \end{matrix}

Kántor Sándor (Debreceni gimn. II/b.)

Megoldotta: ifj. Csonka P.