Feladat: 258. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csere Ilona ,  Dávid P. ,  Dievald Emília ,  Durst E. ,  Dömölki B. ,  Főző Éva ,  Kalmár L. ,  Kántor Sándor ,  Kovács L. ,  LIpák I. ,  Osztein P. ,  Sajó J. ,  Turi I. ,  Villányi O. ,  Zatykó L. ,  Zobor E. 
Füzet: 1951/augusztus, 78 - 79. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/március: 258. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Azt kell kimutatnunk, hogy a megadott kifejezés 92-nel osztható. E célból e kifejezést átalakítjuk

10n(9n-1)+1=10n9n-(10n-1).
A különbség mindkét tagja osztható 9-cel, tehát maga a szám is osztható 9-cel. Vizsgáljuk most a 9-cel való osztás hányadosát. Az első részt osztva 9-cel a hányados n10n. A második rész ‐ minthogy n számú 9-es jegyből álló szám ‐ hányadosul n számú 1-es jegyből álló számot ad. Nézzük most meg a hányados ezen két tagját külön-külön a 9-cel való oszthatóság szempontjából. 10 bármely hatványa 9-ce1 osztva 1 maradékot ad, tehát n10n-t osztva 9-cel a maradék ugyanannyi, mintha n-et osztanánk 9-cel. A hányados másik részét osztva 9-cel, a maradék ugyanannyi, mintha a számjegyek összegét, azaz n-et osztanánk 9-cel. A kettő különbsége 9-cel osztva 0 maradékot ad, vagyis a 9-cel való osztás hányadosa ismét osztható 9-cel. A megadott szám tehát 9⋅9, azaz 81-gyel osztható.
 

Megoldotta: Dávid P., Dievald Emilia, Főző Éva, Kalmár L., Lipák I., Osztein P., Villányi O.
 

II. megoldás: 10n(9n-1)+1=9n10n-(10n-1). Itt n10n így írható: 10n+10n+10n+...+10n. 10n-1 viszont mint két n-edik hatvány különbsége így bontható fel:
10n-1=(10-1)(10n-1+10n-2+...+10+1).
Ezeket az azonosságokat behelyettesítve az eredeti kifejezésbe, az
9[(10n-10n-1)+(10n-10n-2)+...+(10n-10)+10n-1]
alakúvá válik.
A zárójelben lévő kifejezések mind 10n-10k alakúak, ezek 10k(10n-k-1) alakúak lévén ‐ oszthatók 9-cel, s így összegük is ugyanilyen tulajdonságú. Ezzel tehát igazoltuk, hogy az adott szám 81-gyel, osztható.
 

Csere Ilona (Kisfaludy Károly gimn. I/c.)
 

Megoldotta: Durst E.
 

III. megoldás: Ha n=1, akkor 10(9-1)+1=9⋅10-(10-1)=9⋅9=81 s így 81-gyel osztható.
A tétel érvényességét minden n-re teljes indukcióval igazoljuk. Tegyük fel, hogy a 81-gyel való oszthatóság igaz n egy bizonyos értékére. Kimutatjuk, hogy ebből következik, hogy n+1-re is igaz. Vizsgáljuk meg, mennyivel nő a szám értéke, ha n helyébe n+1-et helyettesítünk.
10n+1[9(n+1)-1]+1-[10n(9n-1)+1]==9n10n(10-1)-9⋅10n+9⋅10n+1==81n10n+9⋅10n(10-1)=81⋅10n(n+1).


Tehát ha n helyébe n+1-et teszünk, ezzel 81 többszörösével növeljük a számot, tehát az új szám ismét 81-gyel osztható lesz.
 

Kántor Sándor (Debreceni gimn. II/b.)
 

Megoldotta: Dömölki B., Kovács L., Sajó J., Turi I., Zatykó L., Zobor E.