Kezdőlap


Feladat:	100. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdősy Gy. , Gehér L. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , Izsák I. , Károlyházy F. , Kővári T. , Szépfalussy P. , Szűcs L. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Tarnóczi Z. , Ungár P. , Vermes R. , Vörös M.
Füzet:	1947/december, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gúlák, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/május: 100. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen $A B C D$ tetszésszerinti három oldalú gúla (tetraéder). Jelöljük $o$ -val pl. az $A D$ és $B C$ egymást nem metsző élek $O_{1}$ és $O_{2}$ felezőpontját összekötő egyenest. Húzzunk ezzel $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pontokon át $a$ , $b$ , $c$ , $d$ párhuzamosokat, ez megoldása lesz a feladatnak.

26. ábra

Legyen ugyanis

A'

B'

C'

D'

és

O'

egy tetszőleges síknak a metszéspontja rendre

a

b

c

d

o

egyenesekkel (26. ábra), ekkor

A

O_{1}

D

A'

O'

D'

egy síkban fekszenek az

A A'

O_{1} O'

D D'

párhuzamosok

A D

-ből két egyenlő darabot metszenek ki, tehát

A' D'

-ből is:

A' O' = O' D'

. Hasonlóan látható, hogy

B' O' = O' C'

, és így

A' B' C' D'

paralelogramma. A gúla három kitérő oldalpárjának megfelelően három különböző megoldást nyerünk.

II. megoldás: Ha négy párhuzamos egyenest egy sík egy paralelogramma csúcsaiban metsz, akkor az összes e négy egyenest metsző sík ezt teszi, mert az adott paralelogramma két párhuzamos oldala a végpontjain átmenő két‐két párhuzamos egyenessel párhuzamos síkpárt határoz meg, s ezeket minden sík párhuzamos egyenesekben metszi. A gúla egyik határoló háromszögét egészítsük ki saját síkjában egy negyedik ponttal paralelogrammává, s e pontot kössük össze a gúla negyedik csúcsával, (27. ábra) végül ez egyenessel húzzunk párhuzamosokat a többi három csúcsból.

27. ábra

E négy egyenes nyilván megfelel a követelményeknek. Miután a háromszöget háromféleképpen egészíthetjük ki paralelogrammává, a feladatnak három megoldása van.