|
Feladat: |
98. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bognár J. , Császár J. , Eisler O. , Erdősy Gy. , Fodor Gy. , Fülöp M. , Gehér L. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , Izsák I. , Károlyházy F. , Kolozs F. , Korányi Á. , Kovács J. , Kővári T. , Neszmélyi A. , Perjes R. , Reiner Éva , Réthy Eszter , Seregély Gy. , Sós Vera , Személyi J. , Szépfalussy P. , Szűcs L. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Tarnóczi Z. , Ungár P. , Vata L. , Vermes R. , Vincze Viola , Vörös M. , Zsigmondy Á. |
Füzet: |
1947/december,
58 - 59. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1947/május: 98. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Legyen egy szabályos háromszög, egy pont. Ha a háromszög kerületén, pl. a oldalon van (23. ábra), akkor legyen az és oldalakra bocsátott merőlegesek talppontja és , a -ből húzott magasságé , a -ből -re bocsátott merőlegesé pedig . 23. ábra , mert egy oldaluk közös, derékszögűek, végül . Így , másrészt , tehát . Ha a háromszög belsejében van, legyen belőle a , , oldalakra bocsátott merőlegesek talppontja , , . (24. ábra) 24. ábra Húzzunk -n át -vel párhuzamost, továbbá húzzuk meg a csúcsból a magasságot. Legyen ennek talppontja , metszéspontja a -n áthúzott párhuzamossal . Keletkezett egy kisebb szabályos háromszög, melynek a kerületén fekszik és melynek magassága , tehát az előbbiek szerint . Mivel továbbá , , a háromszög magasságával, tehát független a pont helyzetétől.
II. megoldás: Legyen az szabályos háromszög oldalhossza . Egy pontból a , , oldalakra bocsátott merőlegesek hossza , , (egy vagy kettő közülük 0 is lehet, ha a kerületre, vagy épp az egyik csúcsba esik). A , , háromszögek együtt az háromszöget adják (24. ábra). 24. ábra Így a háromszög területét kiszámítva, mivel , | | ahol az magassága, tehát a ponttól független távolság. |
|