Kezdőlap


Feladat:	97. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár J. , Császár J. , Eisler O. , Erdősy Gy. , Fodor Gy. , Fülöp M. , Gehér L. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , Izsák I. , Károlyházy F. , Kolozs F. , Korányi Á. , Kovács J. , Kövári T. , Neszmélyi A. , Perjes R. , Reiner Éva , Réthy Eszter , Seregély Gy. , Sós Vera , Személyi J. , Szentmártony Z. , Szépfalussy P. , Szűcs L. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Tarnóczi Z. , Ungár P. , Vata L. , Vermes R. , Vincze Viola , Vörös M. , Weninger O. , Weninger O. , Zsigmondy Á.
Füzet:	1947/december, 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/május: 97. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen $A B C$ egy szabályos háromszög, $P$ egy pont.
Ha $P$ a háromszög kerületén, pl. a $C A$ oldalon van (23. ábra), akkor legyen az $A B$ és $B C$ oldalakra bocsátott merőlegesek talppontja $D$ és $E$ , a $C$ -ből húzott magasságé $F$ , a $P$ -ből $C F$ -re bocsátott merőlegesé pedig $G$ .

23. ábra

C E P ▵ ≅ P G C ▵

, mert egy oldaluk közös, derékszögűek, végül

C P G ∢ = P C E ∢ = 60^{\circ}

. Így

P E = C G

, másrészt

P D = G F

, tehát

P D + P E = C F

.
Ha

P

a háromszög belsejében van, legyen belőle a

B C

C A

A B

oldalakra bocsátott merőlegesek talppontja

D

E

F

. (24. ábra)

24. ábra

Húzzunk

P

-n át

A B

-vel párhuzamost, továbbá húzzuk meg a

C

csúcsból a magasságot. Legyen ennek talppontja

G

, metszéspontja a

P

-n áthúzott párhuzamossal

H

. Keletkezett egy kisebb szabályos háromszög, melynek

P

a kerületén fekszik és melynek magassága

C H

, tehát az előbbiek szerint

P D + P E = C H

. Mivel továbbá

P F = H G

P D + D E + P F = C G

, a háromszög magasságával, tehát független a

P

pont helyzetétől.

II. megoldás: Legyen az

A B C

szabályos háromszög oldalhossza

a

. Egy

P

pontból a

B C

C A

A B

oldalakra bocsátott merőlegesek hossza

p_{1}

p_{2}

p_{3}

(egy vagy kettő közülük 0 is lehet, ha

P

a kerületre, vagy épp az egyik csúcsba esik). A

B P C

C P A

A P B

háromszögek együtt az

A B C

háromszöget adják (24. ábra).

24. ábra

Így a háromszög területét kiszámítva, mivel

A B = B C = C A = a

\begin{matrix} \frac{a p_{1}}{2} + \frac{a p_{2}}{2} + \frac{a p_{5}}{2} = \frac{a m}{2}, tehát p_{1} + p_{2} + p_{3} = m . \end{matrix}

ahol

m

A B C ▵

magassága, tehát a

P

ponttól független távolság.