Feladat: 96. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Eisler O. ,  Erdősy Gy. ,  Fülöp M. ,  Gehér L. ,  Hosszú M. ,  ifj. Gacsályi S. ,  Izsák I. ,  Károlyházy F. ,  Korányi Á. ,  Kővári T. ,  Neszmélyi A. ,  Perjes P. ,  Reiner Éva ,  Réthy Eszter ,  Sós Vera ,  Szentmártony Z. ,  Szépfalussy P. ,  Szűcs L. ,  Tamás I. ,  Tarnóczi T. ,  Tarnóczi Z. ,  Tóth K. ,  Ungár P. ,  Vincze Viola ,  Vörös M. ,  Weninger O. 
Füzet: 1947/december, 57 - 58. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszög nevezetes körei, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1947/május: 96. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mérjük rá CP-re a PQ=PB távolságot (20. ábra) BPC∢=60∘, mert CAB∢-gel közös íven nyugszik, tehát BPQ▵ egyenlő oldalú.

 
 
20. ábra
 

Ezt felhasználva következik, hogy ABP▵≅CBQ▵, mert AB=CB és PAB∢ és QAB∢ közös köríven nyugszanak. Ebből AP=QC, amiből következik állításunk.
 

II. megoldás: Mérjünk rá a CA, CB oldalakra CP-vel egyenlő CQ, CR távolságot (21. ábra).
 
 
21. ábra
 

Jelöljük CP és QR metszéspontját S-sel. APC▵≅SQC▵, mert SQC∢=60∘=APC∢ és az ACP∢ közös. Így SQ=AP. Hasonlóan látható be, hogy SR=BP, vagyis CP=QR=QS+SR=AP+BP.
 

III. megoldás: Vegyünk fel a kör kerületén P-nek megfelelő P' és P'' pontokat (22. ábra) úgy, hogy AP=BP'=CP'' és BP=CP'=AP'' legyen.
 
 
22. ábra
 

Jelöljük CP és AP' metszéspontját D-vel. Ekkor AP'=PC. Megmutatjuk, hogy PBP'D paralelogramma. Ugyanis egyrészt P'PD∢ és PP'B∢, másrészt PP'D∢ és P'PB∢ egyenlő körívekhez tartozó kerületi szögek, amiből következik állításunk. Hasonlóan látható, hogy AP''CD is paralelogramma. Ezekből PB=DP' és AD=P''C=AP, amiből következik állításunk.