Kezdőlap


Feladat:	95. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Császár J. , Eisler O. , Erdősy Gy. , Fodor Gy. , Fülöp M. , Gehér L. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , ifj. Huszka J. , Izsák I. , Kővári T. , Perjés P. , Sós Vera , Tarnóczi T. , Ungár P. , Vörös M. , Zsigmondy Á.
Füzet:	1947/december, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hasábok, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/május: 95. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Általánosabban megmutatjuk, hogy azon tégla alakú testek közül, melyek éleinek összege adott, a kocka a legnagyobb térfogatú.
Jelöljük $a$ , $b$ , $c$ -vel az egy csúcsban találkozó éleket. Feltétel szerint ezek összege adott. A tégla térfogata $a b c$ . Állításunk következik abból, hogy három pozitív szám számtani közepe (különben akárhány számra igaz az állítás) nagyobb a mértani középnél, vagy egyenlő vele; de egyenlőség csak akkor áll, ha a három szám egyenlő. Esetünkben a számtani közép: $\frac{a + b + c}{3} = s$ feltétel szerint állandó. $\sqrt[3]{a b c} ≦ s$ , vagyis $a b c ≦ s^{3}$ , a mondottak szerint, tehát a maximális térfogat $s^{3}$ és ezt akkor éri csak el a tégla, ha $a = b = c = s$ , tehát a kocka a keresett tégla.
A felhasznált egyenlőtlenséget így bizonyíthatjuk: ha nem mind a három szám egyenlő, akkor kell köztük $s$ -nél kisebbnek is, nagyobbnak is lenni. Legyen $a = s - α < s < s + β = b$ , $c = s + α - β$ , $α$ , $β > 0$ . Ekkor

\begin{matrix} a b c = (s - α) (s + β) (s + α - β) = [s (s - α + β) - α β] (s + α - β) < \\ < s (s - α + β) (s + α - β) = s^{3} - {(α - β)}^{2} s < s^{3} . \end{matrix}

Ezzel megmutattuk állításunkat.

II. megoldás: Jelöljük a négyzetes oszlop alapéleit

x

-szel, magasságát

y

-nal. Ekkor térfogata

K = x^{2} y

y = a - 2 x

, ahol

a

(az egy csúcsba összefutó élek összege) feltétel szerint állandó.

\begin{matrix} \frac{d K}{d x} = 2 x y + x^{2} y' = 2 x (y - x), \end{matrix}

mert

y' = - 2

. Mivel

x = 0

nem jön tekintetbe, csak

y = x = \frac{a}{3}

, tehát a kocka lehet a feladat megoldása és itt a függvénynek valóban maximuma van.