Kezdőlap


Feladat:	94. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdősy Gy. , Gehér L. , Hosszú M. , Izsák I. , Károlyházy F. , Kővári T. , Reiner Éva , Szeleczky Sz. , Szentmártony Z. , Tamás I. , Tarnóczi T. , Tarnóczi Z. , Ungár P. , Vörös M.
Füzet:	1947/december, 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú függvények, Függvényvizsgálat, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/május: 94. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$y' = 3 x^{2} + 2 a x + b$ ; $y'' = 6 x + 2 a$ . Innen az inflexiós pont abszcisszája $x_{i} = - \frac{a}{3}$ . Ez az egész, ha $a = 3 n$ . A szélső értékek abszcisszái:

\begin{matrix} x_{m} = \frac{- 6 n \pm \sqrt[]{36 n^{2} - 12 b}}{6} = - n \pm \sqrt[]{n^{2} - \frac{b}{3}} . \end{matrix}

tehát

\sqrt[]{n^{2} - \frac{b}{3}} = p

, egész szám kell legyen. Ebből

b = 3 (n^{2} - p^{2})

. Végül, hogy ezekben a pontokban az ordináta is egész szám legyen, ahhoz

c

-nek kell még egész számnak lennie. Így az

y = x^{3} + 3 n x^{2} + 3 (n^{2} - p^{2}) x + c

alakú kifejezések tesznek eleget feltételeinknek, ahol

n

p

c

egész számok.