Kezdőlap


Feladat:	91. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kővári T.
Füzet:	1947/december, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Egész együtthatós polinomok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/május: 91. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

${(p x + q)}^{3} + {(r x + s)}^{3}$ alakban kellene keresni a megoldást, de elegendő ehelyett, és valamivel könnyebb, $t {(x + u)}^{3} + v {(x + w)}^{3}$ alakban keresni a megoldást. Ekkor $p = \sqrt[3]{t}$ , $q = u \sqrt[3]{t}$ , $r = \sqrt[3]{v}$ , $s = w \sqrt[3]{v}$ . Ha az utóbbi kifejezést tagonként kifejtjük, a következő egyenletrendszerhez jutunk:

\begin{matrix} \begin{matrix} a) & t + v & = 189, & b) & t + v & = 1, \\ t u + v w & = 43, & t u + v w & = 23, \\ t u^{2} + v w^{3} & = 61, & t u^{2} + v w^{3} & = 29, \\ t u^{3} + v w^{3} & = 19; & t u^{3} + v w^{3} & = 167. \end{matrix} \end{matrix}

Ezen egyenletrendszerek megoldása másodfokúra vezethető vissza, például a 65/a feladat II. megoldásának módszerével (l. 25. o.). Szorozzuk a második és harmadik egyenletet

u + w

-vel, akkor egyenleteinket felhasználva nyerjük, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} a) & 43 (u + w) = 61 + 189 u w & b) & 23 (u + w) = 29 + u w \\ 61 (u + w) = 19 + 43 u w & 29 (u + w) = 167 + 23 u w \end{matrix} \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} u + w = \frac{1}{10}, u w = - \frac{3}{10} ill. u + w = 1, u w = - 6. \end{matrix}

u

és

w

tehát a következő másodfokú egyenlet két megoldása:

\begin{matrix} 10 z^{2} - z - 3 = 0 ill.z^{2}-z-6=0 \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} u, w = - \frac{1}{2}, \frac{3}{5} ill. u, w=3, -2 \end{matrix}

és például az egyenletrendszerek első két egyenletéből

\begin{matrix} t, v = 64, 125 = 4^{3}, 5^{3} ill. t, v=5, -4. \end{matrix}

Így a keresett felbontások:

\begin{matrix} 189 x^{3} + 129 x^{2} + 183 x + 19 = {(4 x - 2)}^{3} + {(5 x + 3)}^{3} \\ x^{3} + 69 x^{2} + 87 x + 167 = 5 {(x + 3)}^{3} - 4 {(x - 2)}^{3} . \end{matrix}