Feladat:	90. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hosszú M. ,  ifj. Gacsályi S. ,  Izsák I. ,  Károlyházy F. ,  Vörös M.
Füzet:	1947/december, 51 - 52. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Komplex számok trigonometrikus alakja, Egységgyökök, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/május: 90. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^3+6x^3+12x+35={\left(x+2\right)}^3+\mathrm{27,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 5x^3-144x^3+108x-27={\left(4x-3\right)}^3-59x^3\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Így az egyenletek így írhatók: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{<span style="font-style: italic;">a)</span>}{\left(x+2\right)}^3=-\mathrm{27,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{<span style="font-style: italic;">b)</span>}{\left(4x-3\right)}^3=59x^3\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az egyenletek egy‐egy megoldása tehát $x_1=-5$ illetőleg $x_3=\frac{3}{4-\sqrt[3]{59}}$. További két gyököt nyerünk, ha az egyenletek bal oldalát a megfelelő $x-x_1$ gyöktényezővel elosztjuk, és a kapott másodfokú kifejezés 0 helyeit keressük meg, vagy közvetlenül is megkaphatjuk, ha tudjuk, hogy a komplex számok közt nemcsak az 1 szám köbe 1, hanem még a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\varrho }_1}& {\displaystyle =\text{cos}\frac{2\pi }{3}+i\cdot \text{sin}\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt[]{3}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\varrho }_2}& {\displaystyle =\text{cos}2\frac{2\pi }{3}+i\cdot \text{sin}2\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt[]{3}}{2};}\hfill \end{array}}$ számoké is. Így a további gyökök:   a) $x_2=-\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt[]{3}}{2}$,  $x_3=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt[]{3}}{2}$;   b) $x_2=\frac{6}{9+\frac{\sqrt[3]{59}}{2}-i\frac{\sqrt[]{3}\sqrt[3]{59}}{2}}$,  $x_3=\frac{6}{8+\frac{\sqrt[3]{59}}{2}+i\frac{\sqrt[]{3}\sqrt[3]{59}}{2}}$.