Kezdőlap


Feladat:	81. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csordás L. , Gaál E. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi Sándor , Izsák I. , Kövári T. , Magyar Á. Sz. , Szabó Á. , Szépfalussy Péter , Ungár Péter , Vörös M.
Füzet:	1947/november, 34 - 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/március: 81. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két párhuzamos távolság hányadosát szokás pozitív, vagy negatív előjelel ellátni aszerint, amint a kezdőpontjuktól a végpontjuk felé egyező vagy ellenkező irányban kell haladni.
I. megoldás: Húzzunk az $A$ csúcson át párhuzamost $B C$ -vel, $B P$ , illetve $C P$ messe ezt $B_{2}$ illetve $C_{2}$ -ben (14. ábra).

14. ábra

Ekkor nyilván

A C_{1} C_{2} ▵ \sim {B C}_{1} C ▵

, tehát

\frac{A C_{1}}{B C_{1}} = \frac{A C_{2}}{B C}

. Hasonlóan:

\frac{C B_{1}}{A B_{1}} = \frac{C B}{A B_{2}}

. Így

\frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A B_{1}} = - \frac{A C_{2}}{A B_{2}}

. Mivel egy sugársort metsző párhuzamosra megfelelő darabjainak aránya egyenlő

\frac{A C_{2}}{A B_{2}} =

= \frac{A_{1} C}{A_{1} B} = \frac{C A_{1}}{B A_{1}}

, amiből következik állításunk.

Ungár Péter (Bpest, evangélikus gimn. VII. o.)

Hasonlóan oldotta meg: Csordás L.

II. megoldás: Legyen az

A P

B P

C P

egyenesekre

B

és

C

C

és

A

, ill.

A

és

B

csúcsokból bocsátott merőlegesek talppontja

A_{2}

A_{3}

;

B_{2}

B_{3}

; ill.

C_{2}

C_{3}

(15. ábra).

15. ábra

Ekkor, ha a háromszög területét is pozitív, vagy negatív előjellel vesszük aszerint, hogy a csúcsait a felsorolt sorrendben véve, az óramutatóval ellenkező, vagy azzal egyező irányban kell körüljárnunk a háromszöget, akkor:

\begin{matrix} t_{A P B} : t_{A P C} = \frac{B A_{2}}{C A_{3}} & = \frac{B A_{1}}{C A_{1}}, \\ t_{B P C} : t_{B P A} = \frac{C B_{2}}{A B_{3}} & = \frac{C B_{1}}{A B_{1}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} t_{C P A} : t_{C P B} = \frac{A C_{2}}{B C_{3}} = \frac{A C_{1}}{B C_{1}} . \end{matrix}

Ezeket összeszorozva, mivel minden háromszög kétszer, de ellenkező körülfutási iránnyal szerepel, nyerjük állításunkat.

Szépfalussy Péter (Szeged, Kegyesrendi gimn. IV. o.)

III. megoldás: A 79. tételt előbb az

A C C_{1} ▵

-re és a

B B_{1}

egyenesre, majd a

B C C_{1} ▵

-re és az

A A_{1}

egyenesre alkalmazzuk.

\begin{matrix} \frac{C P}{C_{1} P} \cdot \frac{C_{1} B}{A B} \cdot \frac{A B_{1}}{C B_{1}} = 1, \frac{C_{1} P}{C P} \cdot \frac{B A}{C_{1} A} \cdot \frac{C A_{1}}{B A_{1}} = 1. \end{matrix}

A kettőt összeszorozva és egyszerűsítve:

\begin{matrix} - \frac{B C_{1} \cdot {A B}_{1} \cdot {C A}_{1}}{A C_{1} \cdot {C B}_{1} \cdot {B A}_{1}} = 1. \end{matrix}

ifj. Gacsályi Sándor (Nyíregyháza: Kossuth L. gimn. VII. o.)

Megoldotta: Gaál E., Hosszú M., Magyar Á. Sz.

Ezektől különböző megoldásokat küldött be: Izsák I., Kővári T., Szabó Á. és Vörös M.