Kezdőlap


Feladat:	77. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakonyi Kornélia , Blaskó F. , Boda L. , Csordás L. , Csuhássy Edit , Erdősy Gy. , Fülöp M. , Gaál E. , Gehér L. , Horváth M. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , Izsák I. , Kővári T. , Magyar Á. Sz. , Osváth I. , Pál L. , Párkány M. , Róna P. , Serédi B. , Sós Vera , Spitz Vera , Szabó Á. , Szathmári D. , Személyi J. , Szépfalussy P. , Szépfas , Tamás I. , Tarnóczi Z. , Ungár P. , Vékony Mária
Füzet:	1947/november, 31 - 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok köré írt kör, Hozzáírt körök, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/március: 77. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

12. ábra

Legyenek az előző feladatban szereplő két kör (12. ábra) érintési pontjai:

T_{1}

T_{2}

T_{3}

, illetve

T'_{1}

T'_{2}

T'_{3}

, akkor

C T_{1} = C T_{2}

A T_{2} = A T_{3}

B T_{3} = B T_{1}

és

a = C T_{1} + B T_{1} = s - A T_{2}

, tehát

A T_{2} = s - a = s_{1}

, hasonlóan

B T_{1} = s_{2}

C T_{1} = s_{3}

Másrészt:

B T'_{3} = B T'_{1}

C T'_{1} = C T'_{2}

és

A T'_{2} = A T'_{3}

-ből

A T'_{2} = s

B T'_{1} = s - c = s_{3}

;

C T'_{1} = s_{2}

. Mivel

O

a három belső,

O'

pedig egy belső és két külső szögfelező metszéspontja, így a

B O T_{1}

, ill.

B O' T'_{3}

, ill.

A O' T'_{3}

derékszögű háromszögekből, melynek

B

-nél, ill.

A

-nál fekvő hegyesszöge rendre

\frac{β}{2}

90^{\circ} - \frac{β}{2}

\frac{α}{2}

;

\begin{matrix} ϱ = s_{2} tg \frac{β}{2}, ϱ_{1} = s_{3} cotg \frac{β}{2}, s_{3} = ϱ_{1} tg \frac{β}{2}, s = ϱ_{1} cotg \frac{α}{2} . \end{matrix}

Helyettesítsük ezeket rendre a

t = ϱ_{1} s_{1}

t = ϱ_{2} s_{2}

t = ϱ_{3} s_{3}

t = ϱ \cdot s

képletekbe (75. feladat), akkor

\begin{matrix} t = s s_{2} tg \frac{β}{2} = s_{1} s_{3} cotg \frac{β}{2} = ϱ_{1} ϱ_{2} tg \frac{β}{2} = ϱ ϱ_{1} tg \frac{α}{2} . \end{matrix}

Ezekből a többi eredmény a csúcsok megfelelő felcserélésével következik.

Megoldották: Bakonyi Kornélia, Blaskó F., Boda L., Csordás L., Csuhássy Edit, Erdősy Gy., Fülöp M., Gaál E., ifj. Gacsályi S., Gehér L., Horváth M., Hosszú M., Izsák I., Kővári T., Magyar Á. Sz., Osváth I., Pál L., Párkány M., Róna P., Serédi B., Sós Vera, Spitz Vera, Szabó Á., Szathmári D., Személyi J., Szépfalussy P., Tamás I., Tarnóczi Z., Ungár P., Vékony Mária.