Kezdőlap


Feladat:	65. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánó Klára , Bécsy Cecilia , Boda I. , Csordás L. , Csuhássy Edit , Fülöp M. , Gaál E. , Gehér L. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , Izsák I. , Kemény Judit , Kővári T. , Magyar Á. Sz. , Pál L. , Párkány M. , Róna P. , Silfen Péter , Sós Vera , Spitz Vera , Szathmári D. , Szépfalussy P. , Szűcs L. , Ungár Péter , Váczy Irén , Vékony Mária , Vörös M. , Zsulán J.
Füzet:	1947/november, 24 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/március: 65. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

65. a.)

\begin{matrix} x + y = 4 & (1) \\ x z + y u = 7 & (2) \\ x z^{2} + y u^{2} = 12 & (3) \\ x z^{3} + y u^{3} = 21 & (4) \end{matrix}

I. megoldás:

x

-et elimináljuk az (1) és (2), a (2) és (3), végül a (3) és (4) egyenletekből.

\begin{matrix} y z - y u & = 4 z - 7 & (5) \\ y z u - y u^{2} & = 7 z - 12 & (6) \\ y z u^{2} - y u^{3} & = 12 z - 21 & (7) \end{matrix}

Elosztom (6)-ot (5)-tel és (7)-et (6)-tal:

u = \frac{7 z - 12}{4 z - 7} = \frac{12 z - 21}{7 z - 12}

. Ez másodfokú egyenletet ad

z

-re.

z^{2} - 3 = 0

z = \pm \sqrt[]{3}

;

u = - \sqrt[]{3}

, ha

z = \sqrt[]{3}

és

u = \sqrt[]{3}

, ha

z = - \sqrt[]{3}

x

-re és

y

-ra az (1), (2) egyenletek

\frac{12 + 7 \sqrt[]{2}}{6}

\frac{12 - 7 \sqrt[]{3}}{6}

, illetve

\frac{12 - 7 \sqrt[]{3}}{6}

\frac{12 + 7 \sqrt[]{3}}{6}

értéket adnak, aszerint, hogy

z = + \sqrt[]{3}

, vagy

z = - \sqrt[]{3}

Ungár Péter (Bpest, evangélikus gimn. VII. o.)

Megoldották: Bánó Klára, Bécsy Cecília, Boda I., Csordás L., Csuhássy Edit, Fülöp M., Gaál E., ifj. Gacsályi S., Gehér L., Hosszú M., Izsák I., Kemény Judit, Kővári T., Magyar Á. Sz., Pál L., Párkány M., Róna P., Sós Vera, Spitz Vera, Szathmári D., Szépfalussy P., Szűcs L., Váczy Irén, Vékony Mária, Vörös M., Zsulán J.

II. megoldás:

\begin{matrix} (x z + y u) \cdot (z + u) = x z^{2} + y u^{2} + x u z + y u z = \\ = x z^{2} + y u^{2} + u z (x + y) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (x z^{2} + y u^{2}) (z + u) = x z^{3} + y u^{3} + x z^{3} u + y z u^{2} = \\ = x z^{3} + y u^{3} + u z (x z + y u) . \end{matrix}

Ebből az (1)‐(4) egyenleteket figyelembe véve

z + u

és

z u

-ra a következő elsőfokú egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} 7 (z + u) & = 12 + 4 \cdot z u, \\ 12 (z + u) & = 21 + 7 \cdot z u . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} z + u = 0, z u = - 3 \end{matrix}

z

és

u

tehát a következő egyenlet két gyöke

\begin{matrix} X^{2} - 3 = 0, tehát z = \sqrt[]{3}, u = - \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(1) és (2) egyenletből:

\begin{matrix} x + y = 4, x - y = \frac{7 \sqrt[]{3}}{3}, x = 2 + \frac{7 \sqrt[]{3}}{6}, y = 2 - \frac{7 \sqrt[]{3}}{6} . \end{matrix}

z

és

u

értékét felcserélve választjuk,

x

és

y

is felcserélődik, ami szimmetrikus szerepükból is nyilvánvaló.

Silfen Péter (Bpest., Bolyai reálisk. VII. o.)

65. b.)

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 1 \\ x^{2} z + y^{2} u = 0 \\ x z^{2} + y u^{2} = - 2 \\ z^{3} + u^{3} = 22. \end{matrix}

Megoldás:

x^{3} = X, y^{3} = Y, \frac{z}{x} = Z, \frac{u}{y} = U

helyettesítéssel az

X + Y = 1, X Z + Y U = 0, X Z^{2} + Y U^{2} = - 2, X Z^{3} + Y U^{3} = 22

egyenletrendszert kapjuk, ami ugyanúgy oldható meg, mint az a) alatti feladat és az

\begin{matrix} X = \frac{1}{2} - \frac{11}{2 \sqrt[]{113}}, Y = \frac{1}{2} + \frac{11}{2 \sqrt[]{113}}, Z = \frac{- 11 - \sqrt[]{113}}{2}, \\ U = \frac{- 11 - \sqrt[]{113}}{2} \end{matrix}

eredményre vezet. Szimmetria okokból ismét

X

-et

Z

-vel,

Y

-t

U

-val felcserélve, kapjuk az egyenletrendszer másik megoldását.

Megoldották: Boda I., Fülöp M., Gaál E., Gehér L., Izsák I., Kővári T., Magyar Á. Sz., Róna P., Ungár P.