Kezdőlap


Feladat:	64. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakonyi Kornélia , Bánó Klára , Bendzsák Z. , Blaskó F. , Bodonyi J. , Csík M. , Csuhássy Edit , Erdősy Gy. , Frigyes Éva , Fülöp M. , Földes P. , Gaál E. , Gehér L. , Hosszú M. , ifj. Gacsályi S. , Izsák I. , Korányi Á. , Kovács J. , Kővári T. , László F. , Lásztity R. , Magyar Á. Sz. , Magyarósi B. , Miskolczi Ida , Németh R. , Párkány M. , Reiner Éva , Réthy Eszter , Silfen Péter , Sós Vera , Spitz Vera , Szabó Á. , Szentmártony Z. , Szépfalussy P. , Szűcs L. , Tamás I. , Tarnóczi Z. , Tóth K. , Turczi Gy. , Ungár P. , Vata L. , Vékony Mária , Vermes R.
Füzet:	1947/november, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Négyzetszámok tulajdonságai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1947/március: 64. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az alap kétjegyű és osztható $11$ -gyel, mert a négyzete osztható vele. ${(10 a + a)}^{2} = 100 a^{2} + 10 \cdot 2 a^{2} + a^{2}$ . Mivel $2 a^{2}$ utolsó jegye páros, a négyzet utolsó két jegye csak úgy lehet páros, ha $a^{2}$ két jegye egyenlő párosságú. Ilyen számok az $a = 2$ , $8$ . $22^{2}$ még háromjegyű, $88$ a keresett szám, $88^{2} = 7744$ .
Akik ezt az utat választották, nem használtak fel minden lehetőséget és bonyolultabb lehetőségeket kellett végigszámolniuk.

Megoldották: Bakonyi Kornélia, Bendzsák Z., Bodonyi J., Erdősy Gy., Frigyes Éva, Fülöp M., ifj. Gacsályi S., Gehér L., Hosszú M., Izsák I., Kovács J., László F., Lásztity R., Magyarósi B., Miskolczi Ida, Németh R., Turczi Gy., Ungár P., Vermes R.

II. megoldás: Az alapnak oszthatónak kell lennie

11

-gyel és kétjegyű.

{(11 a)}^{2} = 121 a^{2}

, ahol

a < 10

. Legyen

a^{2} = 10 b + c

121 a^{2} = 100 (12 b + c) + 10 (b + 2 c) + c

. Itt

b + 2 c

-nek is

c

-re kell végződnie, tehát

b + c

10

-zel osztható. Ez az egyjegyű számok közül csak

a = 8

-ra következik be és valóban

88^{2} = 7744

Megoldotta: Silfen Péter.
Hasonló utat követnek, de bonyolultabban: Blaskó F., Gaál E., Korányi Á., Kővári T., Magyar Á. Sz., Reiner Éva, Sós Vera, Tóth K.

III. megoldás: A négyzetszám

a a b b = 11 (100 a + b)

osztható

11

-gyel, tehát az alap is osztható

11

-gyel. De ekkor a négyzetnek

11^{2}

-nel kell oszthatónak lennie, tehát

100 a + b = 99 a + (a + b)

is osztható kell, hogy legyen

11

-gyel, tehát

a + b

is. Mivel

a + b \leq 18

, így

a + b

csak

11

lehet,

a a b b = 11^{2} (9 a + 1)

csak úgy lehet teljes négyzet, ha

9 a \mp 1 = c^{2}

9 a = c^{2} - 1 = (c - 1) (c + 1)

. A két tényező különbsége

2

, tehát csak az egyik lehet

3

-mal osztható, így annak

9

-cel is oszthatónak kell lennie. Mivel

c \leq 9

, így

c + 1 = 9

c = 8

a = 7

b = 4

. A keresett szám

88^{2} = 7744

.
Réthy Eszter (Bpest, Veres Pálné lgimn. IV. a. o.)
Bánó Klára (Bpest, Veres Pálné lgimn. VI. o.)
Megoldotta: Szűcs L.
Hasonlóan oldotta meg: Csík M., Csuhássy Edit, Földes P., Párkány M., Spitz Vera, Szabó A., Szentmártony Z., Szépfalussy P., Tamás I., Tarnóczi Z., Vata L. és Vékony Mária.

Sokan csak végeredményt küldtek be. Volt, aki még azt is elárulta, hogy véletlenül talált a helyes eredményre. Ezeket nem számítjuk megoldásnak.