A következő állítást fogjuk bizonyítani:
Ha az $L_1$, $L_2$, $\text{...}$, $L_m$ halmaz mindegyike a számegyenes legalább $m$ (de véges számú) páronként közös elem nélküli intervallumából áll, akkor kiválasztható mindegyik halmazból egy-egy intervallum úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja.
Ez tartalmazza a feladat állítását. Ehhez csak $n=2m-1$ és $n=2m$ esetén a $H_m$, $H_{m+1}$, $\text{...}$, $H_{2m-1}$ halmazokra kell alkalmazni a kimondott tételt.
Az állítás igaz, ha $m=1$. Ha $m>1$, eljárást adunk meg az intervallumok egymás utáni kiválasztására. Vegyük mindegyik halmaz balról első intervallumának a jobb végpontját és azt vagy azokat az intervallumokat, amelyekre ez a legkisebb. Több intervallum esetén válasszunk ki egy jobbról nyitottat, ha van ilyen, különben tetszés szerint egyet. Legyen ez $I_1$, és tartozzék az $L_i$ halmazhoz. Ezután hagyjuk el $L_i$-t, a többi halmazból pedig a balról első intervallumot, majd ismételjük az eljárást, amíg el nem fogynak a halmazok.
Az első lépés után $m-1$ halmaz marad, mindegyik legalább $m-1$ páronként közös pont nélküli intervallumból áll. Azt kell még belátnunk, hogy $I_1$-nek a megmaradt intervallumok egyikével sincs közös pontja. Ezzel egyenértékű az, hogy ha $I_1$-nek az eredeti $L_j$ halmaz $I\text{'}$ intervallumával van közös pontja, ahol $j\ne i$, akkor $I\text{'}$ az $L_j$ balról első intervalluma.
Jelöljük $I\text{'}$ bal végpontját $b$-vel, és tegyük fel, hogy van $L_j$-ben egy $I\text{'}$-től balra levő $I\text{'}\text{'}$ intervallum. Ha $b$ kisebb $I_1$ jobb végpontjánál, akkor ez még inkább igaz $I\text{'}\text{'}$ jobb végpontjára (8.a ábra; a halmazokat párhuzamosan eltolt egyeneseken szemléltetjük), így nem $I_1$-et kellett volna kiválasztanunk.
Ha $b$ egyenlő $I_1$ jobb végpontjával, akkor kell, hogy $I\text{'}$ balról, $I_1$ jobbról zárt legyen. Ekkor $I\text{'}\text{'}$ jobb végpontja vagy kisebb $b$-nél, vagy egyenlő vele, de az utóbbi esetben az intervallum nyitott, mert nincs közös pontja $I\text{'}$-vel (8.b ábra). Ismét egyik esetben sem $I_1$-et kellett volna kiválasztani eljárásunk szerint. Ezzel bebizonyítottuk az állítást.
Ezek alapján az eljárást $m$-szer megismételve az összes követelményt kielégítő intervallumhalmazt kapunk.