|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az háromszög egyenlő szárú. Így, ha és különböző, akkor a -ből és a -ből -mel párhuzamosan húzott egyenes is különböző. A velük nem párhuzamos egyenes metszi őket, így a és pont létrejön (1. ábra).
Jelöljük és metszéspontját -vel, és metszéspontját -vel. Ekkor egyenlőszárú az -hez hasonló és az háromszög is. -n és -n át párhuzamost húzunk a oldallal. Az előbbi és metszéspontját -vel, az utóbbi és metszéspontját -val jelölve a és a háromszög egybevágó, mert megfelelő szögeik csúcsszögek vagy váltószögek. Belátjuk továbbá, hogy . Ugyanis a és háromszög hasonló, és az utóbbi két oldala a -ből a beírt körhöz húzott két érintőszakasz, ezért . Utóbbi és viszont egyenlő szakaszok különbsége, így szintén egyenlők. Végül és a -ből húzott két érintőszakasz, így egyenlők. Ekkor azonban a többi oldalpár is egyenlő, így , vagyis a szakasz felezőpontja.
Ugyanígy látjuk be, hogy a szakasz felezőpontja. A és a háromszög egybevágó, miután megfelelő szögeik csúcsszögek vagy váltószögek, továbbá egy pontból húzott érintőszakaszok egyenlő volta következtében a háromszöghöz hasonló háromszög egyenlő szárú, s így . Ekkor a háromszög többi oldalpárja is egyenlő, így .
Ezekből már következik, hogy a egyenes a szárai közti harmadik párhuzamos szakaszt, -et is felezi, és ezt kellett bizonyítani.
Megjegyzések. 1. Világos, hogy ez az egyenes az csúcsból induló szögfelező.
2. Mint többen is megjegyezték, a bizonyításban csak az és oldal különböző voltára volt szükség.
3. Könnyen látható, akár ennek, akár a következő megoldásoknak a gondolatmenetével, hogy helyes marad az állítás akkor is, ha a beírt kört a háromszög egyik oldalát kívülről érintő körrel helyettesítjük. Az vagy az oldalhoz hozzáírt kör esetén és a külső szögfelezőn lesz.
A versenyzők sok különböző megoldást adtak a feladatra. Sokan használták fel Menelaos tételét, illetőleg annak a megfordítását. Volt, aki koordinátákkal számolt. A fenti megoldás mindegyiknél sokkal egyszerűbb. Miután azonban ez a megoldás csak egyetlen versenyzőnél szerepelt, bemutatunk még két további megoldást.
II. megoldás. Válasszuk a jelölést úgy, hogy teljesüljön. Ekkor a szakaszon van, az szakasz -n túli meghosszabításán. Jelöljük a háromszögbe írt kört -val.
Azt mutatjuk meg, hogy és az szakasz felező merőlegesén van, vagyis hogy és az háromszög egyenlő szárú, mivel -nél és -nél levő szögeik egyenlők (2. ábra).
Az és háromszög egyenlő szárú, mert két-két oldaluk a csúcsokból -hoz húzott érintőszakasz. Az alapon levő szögeiket jelöljük , illetőleg -val. Ezek egyenlők a háromszög -nál, -nél, illetőleg -nél levő szögével, mert -nak ugyanazt az ívét tartalmazó húr-érintő szögek, illetőleg kerületi szögek. Így összegük .
és egy körön van, mert az és egyenlő és egyező irányítású. Az első és a második azért, mert az első kerületi szög, a második húr-érintő szög -ban, és az első száruktól a másodikig a kör ugyanazon irányított íve fut; a második és a harmadik szög szárai pedig egyirányban párhuzamosak. Így a két szög csúcsa és a megfelelő szárak egyeneseinek a metszéspontja egy körön van.
Ekkor , mert a száregyeneseik közti (csúcs-) szögtartomány egyaránt -től -n át -ig futó ívét tartalmazza. Ennek folytán | |
tehát egyenlő szárú háromszög.
Hasonlóan és is egy körön van, mert és egyenlő és egyező irányítású ugyanolyan okokból, mint az előbb.
Ekkor , mert az első és a második ugyanazon ívét tartalmazó kerületi szög -ben, a második és a harmadik pedig csúcsszög-pár. Így | |
tehát az háromszög is egyenlő szárú. Eszerint az szakasz felező merőlegese átmegy -n is, -n is, vagyis és felezőpontja egy egyenesen van a feladat állításának megfelelően.
Megjegyzés. Miután beláttuk, hogy és , továbbá és egy körön van, befejezhetjük a bizonyítást így is: A -re -ben, a -ra -ban és a -re -ben emelt merőleges egy ponton megy át, a kör -vel átellenes pontján. Ez a pont azonban a háromszögbe írt kör középpontja, mert a -ban és az -ben emelt merőleges ennek a körnek a sugara ( 3. ábra).
Hasonlóan a -re -ben, a -ra -ban és a -re -ben emelt merőleges a kör -vel szemben fekvő pontján megy keresztül, ami ismét . Az húr felezőpontjában emelt merőleges ugyancsak átmegy -n. Mivel és párhuzamos -mel, így és egy egyenesen van.
III. megoldás. Feltesszük, hogy . Jelöljük a és egyenes metszéspontját -vel, és metszéspontját -fel, és metszéspontját -vel (4.ábra). Azt kell megmutatnunk, hogy az szakasz felezőpontja.
Menelaos tételét használjuk fel. A egyenes nem megy át a háromszög egyik csúcsán sem, így az említett tétel szerint Itt, tetszés szerint rögzítve az egyes egyeneseken egy irányítást, a szakaszok előjelesen értendők. Azt mutatjuk meg, hogy és párhuzamos, így a párhuzamos szelők tétele szerint így (1) bal oldala helyett írható. és párhuzamos, tehát az szög száraira alkalmazva a párhuzamos szelők tételét A és a háromszög hasonló, mert megfelelő szögeik egyenlők. Miután az -ból, a -ből és a -ből az háromszögbe írt körhöz húzott érintők egyenlők, továbbá , mert egyenlő szakaszok különbségei, így Az előjel is helyes, mert az első arányban és az utolsóban is egyirányú szakaszok szerepelnek. Mindezek alapján | |
amit állítottunk. |
PDF |