Kezdőlap


Feladat:	1955. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/február, 35 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 1955. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A 6-ost tartalmazó, 3-mal osztható, ötjegyű számokat csoportosítsuk aszerint, hogy utolsó 6-os jegyük az egyesektől számítva hányadik jegy.
Az első csoportba azok a számok tartoznak, amelyeknek utolsó jegye 6-os, ilyen számhoz úgy jutunk, hogy a három közbenső jegyet tetszőlegesen választjuk meg, s ezután az első jegyet úgy választjuk meg az ide írható 9 jegy közül (mert 0 nem lehet első jegy), hogy a jegyek összege 3-mal osztható legyen. A közbenső jegyek mindegyikének megválasztásánál 10 lehetőség van, az első jegy megválasztásánál viszont csak 3 a lehetőségek száma, mert a már megválasztott jegyek összegétől függően vagy az 1, 4, 7, vagy a 2, 5, 8, vagy pedig a 3, 6, 9 jegyek közül választhatunk, hiszen valamennyi jegy összege kell, hogy 3-mal osztható legyen. Az első csoportba tartozó számok száma ezek szerint $3 \cdot 10^{3} = 3000$ .
A második, harmadik és negyedik csoportba tartozó számoknál a tízes, százas, ill. ezres jegy 6-os, és ezt követően 6-os jegy már nem szerepel. Ilyen számot keresve az ezt a 6-os jegyet követő jegyeket szabadon választhatjuk 9 jegy közül, hiszen 6-ost nem választhatunk, a megelőző jegyeket az elsőnek kivételével tetszőlegesen választhatjuk meg a 10 jegy közül. Az első jegy megválasztásánál ugyanaz a megkötés érvényesül, mint az első csoport esetében, e jegy megválasztásánál tehát mindig 3 lehetőség van. Ezekbe a csoportokba tehát rendre $3 \cdot 10^{2} \cdot 9 = 2700$ , $3 \cdot 10 \cdot 9^{2} = 2430$ , $3 \cdot 9^{3} = 2187$ szám tartozik.
Az ötödik csoport számainak tízezres jegye 6-os, a többi nem hatos. Egy ilyen szám megválasztásánál a három közbenső jegyet szabadon választhatjuk a 9 megengedett jegy közül, hiszen 6-ost nem választhatunk. Az utolsó jegyet e 9 jegy közül úgy választjuk meg, hogy a szám jegyeinek összege 3-mal osztható legyen. Az utolsó jegy megválasztásánál a többi jegy összegétől függően az 1, 4, 7 vagy a 2, 5, 8, vagy pedig a 0, 3, 9 jegyek közül válogathatunk, tehát minden esetben 3 lehetőségünk van. Az ötödik csoportba ezek szerint $3 \cdot 9^{3} = 2187$ szám tartozik.
Valamennyi csoportban együtt $3000 + 2700 + 2430 + 2187 + 2187 = 12 504$ szám van.

II. megoldás. Először az ötjegyű, 6-ost tartalmazó számok számát határozzuk meg, tekintet nélkül arra, hogy vajon 3-mal oszthatók-e vagy sem. Ezután majd bizonyítjuk, hogy mind e számoknak éppen a harmada osztható 3-mal.
1. Jelöljük az

n

jegyű, 6-ost tartalmazó számok számát

f (n)

-nel. Vizsgáljuk az

n + 1

jegyű, 6-ost tartalmazó számokat, s ezeket soroljuk két csoportba aszerint, hogy utolsó jegyük 6-os vagy nem 6-os.
Az első csoporthoz tartozó számokat úgy kapjuk meg, hogy egy tetszőleges,

n

jegyű számhoz még egy 6-os jegyet fűzünk hozzá. Az első csoporthoz tartozó számok száma tehát a

10^{n - 1}

-től

10^{n}

-ig terjedő,

n

jegyű számok számával egyenlő, azaz

10^{n} - 10^{n - 1}

.
A második csoportba tartozó számot úgy kapunk, hogy egy

n

jegyű, 6-ost tartalmazó számhoz hozzáfűzünk egy 6-ostól különböző jegyet. Mivel ekkor 9 lehetőség van, a második csoportba tartozó számok száma

9 f (n)

.
A két csoporthoz tartozó számok együttes száma ezek szerint

\begin{matrix} f (n + 1) = 10^{n} - 10^{n - 1} + 9 f (n) . \end{matrix}

Minthogy egyetlen egyjegyű, 6-ost tartalmazó szám van,

f (1) = 1

. Ebből kiindulva a levezetett összefüggés felhasználásával sorra a következő értékekhez jutunk:

f (2) = 18

f (3) = 252

f (4) = 3168

f (5) = 37 512

.
2. Nyilvánvaló, hogy ha egy számtani sorozat elemeinek száma 3-mal osztható, és a különbség 3-mal osztva maradékul 1-et ad, akkor a sorozat elemeinek éppen a harmada osztható 3-mal. Több ilyen sorozat elemeinek együttesére is igaz ez a megállapítás, feltéve, hogy a sorozatoknak nincs közös elemük. Az ötjegyű, 6-ost tartalmazó számokról fentebb kimondott állításunkat bizonyítjuk tehát, ha e számokat közös elem nélküli, 3-mal osztható elemszámú, 3-mal osztva maradékul 1-et adó különbségű számtani sorozatokba soroljuk. Ezt a következőképpen tesszük:
A 6-osra végződő számok egy 10 006-tal kezdődő 99 996-ra végződő, 9000 elemű, 10 különbségű számtani sorozatot alkotnak. A más jegyre végződő számokat olyan csoportokba gyűjtjük, amelyekben csak az utolsó jegy az eltérő. Minden egyes ilyen csoportban a 0, 1, 2, 3, 4, 5 jegyekre végződő számok egy 6 eleme, 1 különbségű, és a 7, 8, 9 jegyekre végződők egy 3 elemű, 1 különbségű számtani sorozatot alkotnak.
Mivel mind e sorozatok megfelelnek követelményeinknek, igazoltuk, hogy az ötjegyű, 6-ost tartalmazó számoknak harmada, azaz

37 512 : 3 = 12 504

osztható 3-mal.

III. megoldás. Ismét először valamennyi ötjegyű, 6-ost tartalmazó számnak számát határozzuk meg, majd bizonyítjuk, hogy ezeknek harmada osztható 3-mal.

1. Összesen 90 000 ötjegyű szám van. Az ötjegyű, 6-ost nem tartalmazó számok számát határozzuk meg. Ilyen számot úgy kapunk, hogy első jegynek a 0 és 6 kizárásával maradó 8 jegy közül választunk egyet, a többi jegy megválasztásánál pedig csak a 6-ost zárjuk ki, azaz mind a négy esetben 9 lehetőség között választunk. Az ötjegyű, 6-ost nem tartalmazó számok száma tehát

8 \cdot 9^{4} = 52 488

. Az ötjegyű, 6-ost tartalmazó számok száma tehát

90 000 - 52 488 = 37 512

. Ez 3-mal osztható szám.

2. Írjuk fel növekvő rendben az ötjegyű számokat. Tagoljuk ezt a sorozatot tízes szakaszokba, egy‐egy szakaszba foglalva azokat a számokat, amelyek csak az utolsó jegyben különböznek egymástól. Jelöljük meg mindegyik szakaszban a 6-ost tartalmazó számokat. Vannak szakaszok, amelyekben minden számot megjelölünk, ti. azokban a szakaszokban, amelyeknek nem változó, első jegyei között 6-os is szerepel. A többi szakaszban csak egy‐egy számot, a 6-osra végződőt jelöljük meg.

\begin{matrix} \begin{matrix} • • • • • • • • • • \\ \circ \circ \circ \circ \circ \circ • \circ \circ \circ \end{matrix}} {\begin{matrix} • • • • • • • • • • \\ \circ \circ \circ \circ \circ \circ • \circ \circ \circ \end{matrix} \\ 5. ábra \end{matrix}

Vizsgáljuk meg, mekkora lehet a különbség két‐két, egymáshoz legközelebbi megjelölt szám között.¹ Ha e két szám ugyanahhoz a szakaszhoz tartozik, a szakasz csupa megjelölt számból áll, és a különbség 1. Ugyancsak 1 a különbség, ha a két szám két szomszédos, csupa megjelölt számból álló szakaszhoz tartozik. Ha a tekintett két szám közül a kisebbik egy csupa megjelölt számból álló szakaszhoz, a nagyobbik meg nem ilyenhez tartozik, akkor a különbség 7. Ha a nagyobbik tartozik csupa megjelölt számból álló, s a kisebbik meg nem ilyen szakaszhoz, akkor különbségük 4. Ha végül mindkét szám olyan szakaszhoz tartozik, amelynek nincs minden száma megjelölve, akkor 10 a különbségük. A vizsgált különbség lehetséges értékei 1, 4, 7, 10.

Minthogy e számok mindegyike 3-mal osztva 1-et ad maradékul, megállapíthatjuk, hogy a megjelölt számok nagyság szerinti egymásutánjában minden harmadik osztható 3-mal, hiszen minden 3-mal osztható számra olyan következik ebben az egymásutánban, amelyik 3-mal osztva 1-et ad maradékul, erre olyan amelyik 2-t ad maradékul, s erre megint egy 3-mal osztható következik. Minthogy a megjelölt számok száma osztható 3-mal, ezeknek harmada, azaz

37 512 : 3 = 12 504

osztható 3-mal.

IV. megoldás. A 90 000 ötjegyű szám között minden harmadik tehát összesen 30 000 osztható 3-mal. Határozzuk meg, hogy ezek között hány 6-ost nem tartalmazó van.

Egy ilyen szám első jegyét 8-féleképpen választhatjuk meg, mert 0 és 6 nem választható. A második, harmadik és negyedik jegy megválasztásánál 9 lehetőség van, hiszen csak a 6-os választását kell kizárnunk. Az utolsó jegyet úgy kell megválasztanunk, hogy a jegyek összege 3-mal osztható legyen. A már megválasztott jegyek összegétől függően tehát vagy az 1, 4, 7 vagy a 3, 5, 8, vagy pedig a 0, 3, 9 jegyek között, vagyis mindig 3 lehetőségből választhatunk.
Az ötjegyű, 6-ost nem tartalmazó, 3-mal osztható számok száma ezek szerint

8 \cdot 9^{3} \cdot 3 = 17 496

, az ötjegyű, 6-ost tartalmazó, 3-mal oszthatóké pedig

30 000 - 17 496 = 12 504

¹Az 5. ábra szemlélteti a számba vett lehetőségeket. Ezen az ábrán a fekete körök megjelölt számokat, a fehér körök meg nem jelölt számukat jelképeznek.