Kezdőlap


Feladat:	225. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Seprődi László
Füzet:	1962/szeptember, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Egyéb folyadékok és gázok egyensúlya, Hajítások, Egyenletes körmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/január: 225. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a pohár magassága $a$ , a vízfelszín eredeti magassága $h$ , és az $ω$ szögsebességnél kialakuló felület legmélyebb pontja $c$ magasságban. Helyezzük el koordinátarendszerünket úgy, hogy az $y$ tengely egybeessék a pohár forgástengelyével, az $x$ tengely pedig legyen $c$ magasságban.

Mindenekelőtt határozzuk meg a felületet kialakító erőt. Ennek pillanatnyilag csak az iránya érdekes, erre lesz ugyanis merőleges a vízfelszín.
Az erő komponensei a súlyerő és a centrifugális erő. Az irányszöget könnyen megkapjuk:

tgα=xω^{2}/g

.
Könnyen beláthatjuk, hogy ugyanez a képlet határozza meg

y = x^{2} ω^{2} / 2 g

függvény

x

pontbeli érintőjének irányszögét is.
Ebből már rögtön következik, hogy a kialakult vízfelszín ábrázolt síkmetszetét épp az

y = x^{2} ω^{2} / 2 g

egyenlet írja le, és az nyilván paraboloid alakot jelent.
Számítsuk ki, hogy milyen mélyen lesz a paraboloid csúcspontja!
A

c

magasságú,

r

sugarú henger térfogatának fele egyenlő a paraboloid köbtartalmával, ami pedig az

(a - h)

magasságú henger térfogatával egyenlő:

r^{2} π c / 2 = r^{2} π (a - h)

, azaz

c = 2 a - 2 h

.
Így a paraboloid pohár szélén levő pontjának koordinátái:(

r

2 a - 2 h

).
Ezt a felületet leíró függvénykapcsolatba helyettesítve:

2 a - 2 h = ω^{2} r^{2} / 2 g

adódik.
Innen

\begin{matrix} ω = 2 \sqrt[]{(a - h) g / r} = 29, 53 {sec}^{- 1}, \\ n = ω / 2 π = 4, 7 {sec}^{- 1} . \end{matrix}

A pohár szélét elhagyó vízrészecskék

v = ω r = 88, 59

cm/sec sebességgel vízszintesen repülnek.
A vízcseppek

H = 10

cm mélységbe ‐ szabadon esve ‐

t = \sqrt[]{2 H / g} = 0, 143

sec alatt érkeznek le. Ezalatt

\begin{matrix} s = v t = \sqrt[]{\frac{2 H}{g}} \cdot 2 \cdot \sqrt[]{(a - h) g} = \sqrt[]{8 H (a - h)} = 12, 65 cm utat \end{matrix}

repülnek be.
Mivel e mozgás pályája épp

r

távolságnyira van a forgástengelytől, azért a kirepülő vízrészecskék tengelytől mért távolságára

\begin{matrix} R = \sqrt[]{r^{2} + s^{2}} = \sqrt[]{r^{2} + 8 H (a - h)} = 13 cm adódik . \end{matrix}

Seprődi László (Bp., Fáy A. g. IV. o. t.)