Kezdőlap


Feladat:	213. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Dénes , Reé Eörs , Schaub Zsuzsa
Füzet:	1962/április, 190. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/december: 213. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük Földünk gömb középpontját $K$ -val, sugarát $R$ -rel, sűrűségét $d$ -vel.
Kimutatható, hogy a tér bármely $P$ pontjában valamely tömegre akkora vonzóerő hat, mint amekkorát a $K$ középpontban elhelyezett $P K$ sugarú gömb középpontjában elhelyezett Föld‐tömeg fejtene ki.

Jelöljük Gdansk és Budapest helyzetét

A

ill.

B

-vel. Ekkor az

A B

,,alagútban''

P

pontnál elhelyezett tömegegységre

\begin{matrix} P_{c} = f \frac{I \cdot M}{r^{2}} \end{matrix}

erő hat. Itt

r = P K

, míg

M

előbbi tételünknek megfelelően az

r

sugarú,

d

sűrűségű gömb tömegével egyenlő:

M = 4 / 3 r^{3} π d

.
Könnyen belátható, hogy az alagútban a mozgást a

P_{1} = P_{c} sin φ

erő komponens végezteti.
Mivel

O P = x

és

sin φ = x / r

írható

P_{1} = f \cdot 4 / 3 \cdot π \cdot d \cdot x

.
Láthatjuk, hogy a létrejövő mozgás harmonikus rezgőmozgás.
A fenti képlet

P_{1} = k \cdot x

alakra hozható, ahol a

k

,,rugóállandó'', értéke

f \cdot 4 / 3 \cdot π \cdot d

.
A rezgőmozgás főbb jellemzőit most már könnyen kapjuk:
Rezgési idő:

τ = 2 π \sqrt[]{m / k} = 2 π \sqrt[]{1 / k}

(egységnyi tömeg esetén).

\begin{matrix} τ = 2 π \sqrt[]{\frac{3}{4 π \cdot d \cdot f}} = \sqrt[]{\frac{3 π}{f \cdot d}} . \end{matrix}

A numerikus értékeket behelyettesítve

τ = 84, 3

perc adódik. Látható, hogy mind a mozgás jellege, mind a rezgési idő számértéke teljesen független a két város helyzetétől, eredményünkben a Föld‐sugár sem szerepel. Ha tehát számításainkat Földünkével azonos sűrűségű, de pl. kisebb sugarú égitestre végeztük volna el, ugyanerre az eredményre jutottunk volna.

Reé Eörs (Bp., Piarista Gimn. IV. o. t.)