Kezdőlap


Feladat:	190. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Simonovits Miklós
Füzet:	1962/március, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Energiamegmaradás, Impulzus (lendület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/október: 190. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszer $3 m c$ impulzus hatására rezgőmozgással kombinált egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, ahol az $S$ tömegközéppont $c_{0}$ sebességére $(m_{1} + m_{2}) c_{0} = m_{2} c$ ; $c_{0} = \frac{3}{4} c$ , a rendszer impulzusa pedig $3 m c = 4 m c_{0}$ . Az $m_{1}$ ütközési sebességét $v_{1}$ és $v_{2}$ -vel jelölve, a feltétel szerint az impulzusváltozás

\begin{matrix} 4 m c_{0} - 2 m v_{1} - 2 m v_{2} = - 4 m c_{0}, \\ v_{1} + v_{2} = 4 c_{0} . \end{matrix}

Igazolni fogjuk, hogy

v_{1} \leq 2 c_{0}

;

v_{2} \leq 2 c_{0}

.
Legyen

m_{1}

ill.

m_{2}

sebessége általában a falhoz képest

v

ill.

v'

S

-hez képest

v_{s}

, ill.

v'_{s}

, a rugó potenciális energiája

E_{r}

. A rendszer energiája végig

\frac{1}{2} m_{2} c^{2} = \frac{8}{3} m c_{0}^{2}

, és az ütközések előtt és után

S

sebessége nagyságra

c_{0}

\begin{matrix} Így & v = & c_{0} + v_{s}, & ill. & v = & - c_{0} + v_{s}, & (1) \\ v' = & c_{0} + v_{s}' & ill. & v' = & - c_{0} + v_{s}' . \end{matrix}

Az energiamegmaradás elve alapján bármely, a két időintervallumban levő pillanatra

\begin{matrix} \frac{8}{3} m c_{0}^{2} = E_{r} + \frac{1}{2} {(\pm c_{0} + v_{s})}^{2} + \frac{1}{2} 3 m {(\pm c_{0} + v_{s})}^{2} . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy az impulzustétel szerint

\begin{matrix} m_{1} v_{s} + m_{2} v'_{s} = 0, \\ v_{s}^{2} = c_{0}^{2} - \frac{3}{8} E_{r}, de E_{r} \geq 0, tehát \\ | v_{s} | \leq | c_{0} | . De (1) miatt | v | \leq | c_{0} | + | v_{s} | = 2 c_{0}, \end{matrix}

és mivel az első ütközés előtti és a második utáni pillanatban (1) érvényes,

v_{1} \leq 2 c_{0}

v_{2} \leq 2 c_{0}

.
Tehát a feladat feltétele akkor és csak akkor teljesül, ha az ütközések pillanatában

E_{r} = 0

, és

v_{s} = c_{0}

(előjellel együtt). Viszont, ha ez az első ütközésre teljesül, akkor az impulzus változás

- 4 m c_{0}

, tehát

S

megáll, és így a második ütközés a rugó nyilván ugyanilyen állapota mellett következik be, tehát szintén

v_{2} = 2 c_{0}

.
Tehát a szükséges és elégséges feltétel az, hogy az első ütközés pillanatában a rugó ne legyen megfeszítve, és

m_{1}

a fal felé mozogjon. Ez a rendszer kezdeti elhelyezésével nyilván megvalósítható.

Simonovits Miklós (Bp., Radnóti g. IV. o. t.)
dolgozata alapján