Kezdőlap


Feladat:	187. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vincze Imre
Füzet:	1962/március, 135 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/október: 187. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1960. évi decemberi számban közölt cikk alapján megállapíthatjuk, hogy az elhajított tárgy a burkológörbénél messzebb nem kerülhet. A burkológörbe egyenlete:

\begin{matrix} y = F - \frac{1}{4 F} \cdot x^{2}, ahol F = \frac{c^{2}}{2 g} . \end{matrix}

Helyezzünk a

β

hajlásszögű lejtőre egy koordináta-rendszert, melynek

x

tengelye vízszintes,

y

tengelye függőleges, és origója az elhajítás

A

pontja. A rajzunk síkjától eltérő függőleges síkokban a burkológörbe ugyanaz, tehát a burkológörbék forgási paraboloidot alkotnak, amelyet a

β

hajlásszögű síkkal kell metszeni. Ez a metszet ellipszis, tehát a keresett mértani hely ellipszis, amelynek az adatait most számítással meghatározzuk.
Nyilvánvaló, hogy az ellipszis nagytengelye a lejtő egyeneséből kivágott

P Q

darab. A metszéspontokat meghatározó egyenlet:

\begin{matrix} x \cdot tg β = F - \frac{1}{4 F} \cdot x^{2} . \end{matrix}

Ennek megoldása a

P

és

Q

pontok

x

-koordinátájára nézve:

\begin{matrix} x = - 2 F (tg β \mp sec β) . \end{matrix}

A lejtőn mért távolságokat

cos β

-val való osztással kapjuk:

\begin{matrix} A P = & 2 F \cdot \frac{1 - sin β}{cos^{2} β}, \\ Q A = & 2 F \cdot \frac{1 + sin β}{cos^{2} β} . \end{matrix}

Az ellipszis fél nagytengelye a

Q P = Q A + A P

távolság fele, vagyis:

\begin{matrix} a = \frac{2 F}{cos^{2} β} = Q O = O P . \end{matrix}

A fél kistengely keresésekor gondoljuk meg, hogy

A

pontból rajzunk síkjára merőleges síkban ismert módon éppen

2 F

távolságra lehet hajítani, mert ebben az esetben az elhajított tárgy az elhajítás helyével egy magasságban levő pontban érkezik meg.

O

középpontú koordináta-rendszerünkben, a lejtő síkjában, ellipszisünk centrális elhelyezésű és függvénye:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

X

és

Y

a görbe pontjainak koordinátái a lejtő síkjában. Tudjuk, hogy

a = 2 F : cos^{2} β

és

X = O A = O P - A P = \frac{2 F sin β}{cos^{2} β}

esetében

Y = 2 F

. Ezeket helyettesítve az ellipszis függvényébe, megkapjuk a fél kistengelyt:

\begin{matrix} b = \frac{2 F}{cos β} . \end{matrix}

Az excentricitás

e = \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 F sin β}{cos^{2} β}

, tehát annyi, mint

O A

. Ezek szerint ellipszisünk egyik gyújtópontja az elhajítás

A

pontja.

Vincze Imre (Bp., XVIII., Hengersor u. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. A lejtő síkjában fekvő ellipszist vetítsük az

O

pont magasságában fekvő vízszintes síkra. Ekkor

b

kistengely hossza változatlan marad, az új nagytengelyt viszont úgy kapjuk, ha a régit, vagyis

a

-t szorozzuk

cos β

-val; ekkor ugyancsak a

2 F : cos β

értéket kapjuk. Tehát mértani helyünk vízszintes síkra való vetülete kör.
Máté Attila (Szeged, Radnóti g. I. o. t.) felhívja arra a figyelmet, hogy a mértani hely akkor is ellipszis, ha az

A

pontból elhajított tárgyat nem az

A

ponton átmenő, hanem más,

β

hajlásszögű síkon fogjuk fel. Gondolatának követése arra vezet, hogy ha az

A

pontból elhajított tárgyat

β

hajlásszögű, de nem

A

ponton átmenő síkon fogjuk fel, és a hajítási távolság maximális, akkor az ellipszisek fókuszai egy parabolán helyezkednek el, melynek függvénye:

\begin{matrix} y = - \frac{1}{4 F sin^{2} β} \cdot x^{2} - ctg β \cdot x . \end{matrix}

Közben az ellipszisek centrumai az

O O'

függőleges egyenesben maradnak.