Kezdőlap


Feladat:	160. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Belényessy István , Gálfi László , Góth László , Nováky Béla , Széchényi K.
Füzet:	1961/december, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Mozgási energia, Energia homogén gravitációs mezőben, Nyomóerő, kötélerő, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/május: 160. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A gömb a pálya legalsó pontján súlyán kívül a reáható centripetális erő ellenerejével nyomja a pályát, mert a körmozgáshoz szükséges centripetális erőt a golyóra függőlegesen felfelé ható nyomóerő és a lefelé ható súlyerő eredője adja.

A centripetális erő nagyságának kiszámításához szükséges pillanatnyi sebességet az energiamegmaradás törvénye alapján határozhatjuk meg. Ugyanis, ha eltekintünk a mechanikai energiaveszteségektől, akkor a golyó kezdeti helyzeti energiája mozgási és forgási energiává alakul át.

E_{h} = E_{m} + E_{f}

;

E_{m} = 1 / 2 m v^{2}

E_{f} = 1 / 2 I ω^{2}

, ahol

I

a gömb tehetetlenségi nyomatéka a középpontján átmenő tengelyre vonatkozólag,

ω

a szögsebessége. Mint ismeretes,

I = 2 / 5 m r^{2}

, továbbá

ω = v / r

. (Ez igaz akkor is, ha a gömb sugara nem hanyagolható el a félkör sugarához képest, ugyanis a félkört gondolatban egészítsük ki teljes körré; mialatt az

r

sugarú kör egyszer végiggördül belülről a

(h + r)

sugarú kör kerületén,

(h + r) / r - 1 = h / r

fordulást végez maga körül, tehát ezt a szakaszt véve időegységül, a szögsebessége

2 π h / r

, ugyanekkor a golyó középpontja

2 π h

utat tesz meg, tehát sebessége

2 π h

).
Így behelyettesítve:

m g h = 1 / 2 m v^{2} + 1 / 2 I ω^{2} = 7 / 10 m v^{2}

, innen

v^{2} = 10 g h / 7

. A centripetális erő nagysága tehát

P_{c} = m v^{2} / h = 10 / 7 m g

, ezért a nyomóerő

P_{n} = m g + 10 / 7 m g = 17 / 7 m g

, azaz a golyó súlyának

17 / 7

-szerese.

Megjegyzés: Ha a gömb energiaveszteség nélkül lecsúszik a pályán, akkor helyzeti energiája teljes mértékben mozgási energiává alakul, ekkor

v^{2} = 2 g h

, és így a teljes nyomóerő

P_{n} = m g + m v^{2} / r = 3 m g

, vagyis a golyó súlyának háromszorosa.

Gálfi László, (Bp., I. István g. III. o. t)

II. megoldás: A mélyponton való átgördülés pillanatában a gömb mozgása úgy is tekinthető, hogy az éppen a félkör pályával érintkező pontján átfektetett vízszentes tengely körül fordul el. Ekkor a golyó kezdeti energiája teljesen forgási energiává alakul, amelynek nagysága

1 / 2 I ω^{2}

. Itt

I

ezen tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, amelynek nagysága a Steiner‐tétel alapján

I = 2 / 5 m r^{2} + m r^{2} = 7 / 5 m r^{2}

, továbbá

ω = v / r

, mint az előző megoldásban láttuk. Tehát

m g h = 7 / 10 m v^{2}

, innen

v^{2} = 10 g h / 7

. A megoldás további menete azonos az első megoldáséval.

Góth László (Bp., Könyves K. g. III. o. t.)