Feladat: 137. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Góth László ,  Simonovits Miklós ,  Szidarovszky Ágnes ,  Vesztergombi György 
Füzet: 1961/november, 172 - 173. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/március: 137. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Húzzuk meg a háromszög középvonalait, ezek négy darab hozzá hasonló, egybevágó háromszögre bontják.

 
 

Így a háromszög tömegét M-mel jelölve, a kis háromszögek tömege M/4, és súlypontjaik távolsága a nagy háromszög súlypontjától: 0, s1/3, s2/3, s3/3. Alkalmazva a XXII. kötet 1. és 2. számában megjelent cikk tételeit:
Max2a2=M4ax2(a2)2+[M4ax2(a2)2+M4(s13)2]+[M4ax2(a2)2+M4(s23)2]+[M4ax2(a2)2+M4(s33)2]


innen M-mel egyszerűsítve, összevonva és rendezve:
ax2=s12+s22+s3227a2.

Fejezzük ki a súlyvonalakat az oldalak segítségével! Ismeretes, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő oldalainak négyzetösszegével. Alkalmazzuk ezt a nagy háromszögnek oldalfelező pontjaira való tükrözésével nyert paralelogrammákra:
4s12+a2=2(b2+c2),4s22+b2=2(a2+c2),4s22+c2=2(a2+b2).

Ezen egyenlőségeket összeadva kapjuk, hogy s12+s22+s32=3/4(a2+b2+c2). Tehát a tehetetlenségi nyomaték:
Θ=Max2a2=M/36(a2+b2+c2).
 

Vesztergombi György (Bp., Piarista g. III. o. t.)
 

II. megoldás: A keresett tehetetlenségi nyomaték egyenlő a háromszög súlypontján átmenő és az egyik oldallal párhuzamos, valamint a súlyponton átmenő, erre merőleges tengelyekre vonatkozó Θ1, Θ2 tehetetlenségi nyomatékok összegével. Az előbbi egyenlő egy l hosszúságú, M tömegű lineárisan növekvő sűrűségű egyenes vonaldarab tehetetlenségi nyomatékával, hiszen a háromszög pontjait eltolhatjuk a tengellyel párhuzamosan.
 
 

Tehát Θ1=1/18Ml2. A második nyomaték meghatározásához előbb kiszámítjuk a háromszög tehetetlenségi nyomatékát az illető tengellyel párhuzamos, harmadik csúcsponton átmenő tengelyre vonatkozólag. A háromszög pontjait ezen tengellyel párhuzamosan eltolva két lineárisan növekvő sűrűségű rudat kapunk; ezek tehetetlenségi nyomatékát kell meghatároznunk a végpontjukon átmenő tengelyre vonatkozólag. A Steiner‐tétel segítségével e két nyomaték összege:
[1/18M1a12+M1(a1/3)2]+[1/18M2a22+M2(a2/3)2]=1/6(M1a12+M2a22)=
1/6(Ma1/aa12+Ma2/aa22)=1/6M/a(a13+a23)=M/6(a12-a1a2+a22). Így a súlyponton átmenő tengelyre vonatkozólag a háromszög tehetetlenségi nyomatéka ugyancsak a Steiner‐tétel alapján Θ2=M/6(a12-a1a2+a22)-M(a2-a13)2. Felhasználva, hogy l2=b2-a12, l2=c2-a22, a súlyponton átmenő, a háromszög síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatott nyomaték:
Θ=Θ1+Θ2=1/18Ml2+1/6M(a12-a1a2+a22)-1/9M(a12-2a1a2+a22)==M/36(2l2+6a12-6a1a2+6a22-4a12+8a1a2-4a22)==M/36(b2-a12+c2-a22+2a12+2a22+2a1a2)==M/36[b2+c2(a1+a2)2]=M/36(a2+b2+c2).

 

Szidarovszky Ágnes (Bp., Ságvári E. g. III. o.t.)