Kezdőlap


Feladat:	127. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Náray-Szabó Gábor , Rába Ferenc
Füzet:	1961/október, 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 127. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük $Θ_{x}$ -et, $Θ_{y}$ -t és $Θ_{z}$ -t. (L. XXII. köt. 1. és 2. szám.) $Θ_{x y}$ és $Θ_{z}$ könnyen meghatározható, ezekkel pedig a keresett mennyiségek kifejezhetők.

Θ_{x y}

számításánál a kúpot a

z

tengelybe nyomva össze négyzetesen növekvő sűrűségű,

h

hosszúságú vonaldarabot kapunk.

Θ_{x y}

épp e vonalnak a súlypontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka. Tehát:

Θ_{x y} = \frac{3}{80} M \cdot h^{2}

.
Számítsuk ki

Θ_{z}

-t ! Helyezzük a kúpot vele azonos alapkörű és magasságú egyenes körhengerbe. Ha a henger és a kúp közti teret a kúp anyagával megegyező anyaggal kitöltjük, akkor ennek tömege a kúp tömegének kétszerese lesz (ugyanis a henger térfogata a kúp térfogatának háromszorosa). A kúp

Θ_{z}

tehetetlenségi nyomatékát megkapjuk, ha

3 M

tömegű henger tehetetlenségi nyomatékából levonjuk a kiegészítő test tehetetlenségi nyomatékát. Az utóbbit az

X Y

síkba összenyomva egy a középponttól kifelé lineárisan növekvő sűrűségű körlapot kapunk. Ezt pedig forgatással az

X

tengelybe nyomva, négyzetesen növekvő sűrűségű vonalhoz jutunk. Tehát

\begin{matrix} Θ_{z} = (3 M) \cdot \frac{1}{2} \cdot r^{2} - (2 M) \cdot \frac{3}{5} \cdot r^{2} = \frac{3}{10} \cdot M \cdot r^{2} . \end{matrix}

A szimmetria miatt

Θ_{x} = Θ_{y}

Θ_{0} = Θ_{z} + Θ_{x y}

és

Θ_{0} = \frac{1}{2} (Θ_{x} + Θ_{y} + Θ_{z})

összefüggések felhasználásával:

\begin{matrix} Θ_{x} = Θ_{y} = Θ_{0} - \frac{1}{2} Θ_{z} = Θ_{z} + Θ_{x y} - \frac{1}{2} Θ_{z} = \frac{1}{2} Θ_{z} + Θ_{x y} = \frac{3}{20} M r^{2} + \frac{3}{20} M h^{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} Θ_{x} = Θ_{y} = \frac{3}{20} M (r^{2} + h^{2} / 4), Θ_{z} = \frac{3}{10} M r^{2} . \end{matrix}

Hasonlóan adódik:

\begin{matrix} Θ_{z x} = Θ_{z y} = \frac{3}{20} M r^{2} is . \end{matrix}

Rába Ferenc (Bp., I. István g. IV. o. t.)