Kezdőlap


Feladat:	123. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balikó B. , Biró I. , Góth László , Puha Katalin
Füzet:	1961/szeptember, 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Energiamegmaradás, Tömegközéppont megmaradása, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/február: 123. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha a lejtő gyorsulása 0, akkor a lejtőre helyezett test a lejtőt $N = m g cos α$ erővel nyomja.

Ha a lejtő

x

gyorsulással mozog hátrafelé, akkor a pálya

x' = x sin α

gyorsulással mintegy kiszökik az

m

alól, ennek következtében a lejtőre ható nyomóerő csak

\begin{matrix} N' = m g cos α - m x sin α . \end{matrix}

Tehát a lejtőt mozgató erő

P = N' sin α = (m g cos α - m x sin α) sin α

, és ebből

P = M x

helyettesítéssel (

M

-mel jelöljük a lejtő tömegét)

\begin{matrix} x = \frac{m g sin α cos α}{M + m sin^{2} α} . \end{matrix}

Ha pedig

M = m

, akkor

m

-mel egyszerűsítve

\begin{matrix} x = \frac{g sin α cos α}{1 + sin^{2} α} = \frac{g tg α}{1 + 2 tg^{2} α} . \end{matrix}

Megjegyzés: Koordinátageometriai úton megállapíthatjuk, hogy a lejtőre helyezett test pályája

- \frac{m + M}{M} tg α

iránytényezőjű egyenes, ennek segítségével más úton is megállapíthatjuk az

m

tömegű test által a lejtőre gyakorolt

N'

nyomóerőt. A megoldás további menete az előzőekkel megegyezik.

Puha Katalin (Győr, Kazinczy F. g. III. o. t.)

II. megoldás: A lejtőn mozgó test és a lejtő alkotta rendszerre csak függőleges irányú erők hatnak, ezért a súlypontja csak függőleges irányban mozoghat. A közös súlypont a lejtő és a test súlypontja közötti távolság felező pontja, ez azt jelenti, hogy az említett két súlypontnak a közös súlyponttól vízszintes irányban mért távolsága minden pillanatban egyenlő, csak ellenkező irányú. Tehát a lejtő és a test vízszintes irányban egyenlő távolságra mozdul el ellentétes irányban, így gyorsulásuk vízszintes komponense egyenlő:

x = y

. Az energiamegmaradás törvénye alapján a nyugalmi helyzettől a

t

időpontig a test helyzeti energiájának csökkenése egyenlő a lejtő és a test mozgási energiájának összegével, azaz

- z

-vel jelölve a test gyorsulásának függőleges komponensét

-^{1} /_{2} m g z t^{2} =^{1} /_{2} m x^{2} t^{2} +^{1} /_{2} m (y^{2} + z^{2}) t^{2}

, az

x = y

egyenlőséget is felhasználva

g z = 2 x^{2} + z^{2}

. Másrészt tudjuk azt, hogy a testnek a lejtőhöz viszonyított vízszintes irányú elmozdulása

t

idő alatt

x / 2 \cdot t^{2} + y / 2 \cdot t^{2} = x t^{2}

, függőleges irányú elmozdulása

z / 2 \cdot t^{2}

. A tárgynak a lejtőhöz viszonyított elmozdulása viszont csakis a lejtő irányában történhetett, tehát

z / 2 \cdot t^{2} : x \cdot t^{2} = tg α

, így

z = 2 x tg α

. A fenti egyenletbe ezt behelyettesítve

2 x^{2} + 4 x^{2} tg^{2} α = g \cdot 2 x tg α

, innen

x = \frac{g tg α}{1 + 2 tg^{2} α}

Góth László (Bp., Könyves K. g. III. o. t.)