Feladat:	114. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Góth László ,  Opálény Mihály ,  Rácz László
Füzet:	1961/szeptember, 38 - 39. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Folyadékok hőtágulása, Lineáris hőtágulás, Térfogati hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/január: 114. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Vezessük be a következő jelöléseket: Az eredeti hőmérséklet $t_2$, a platina sűrűsége itt $\varrho$. Ezek adottak. Legyen továbbá ${\varrho }_1$ ill. ${\varrho }_2$ a higany sűrűsége $t_1$ ill. $t_2$ hőmérsékleten, amelyek könnyen kiszámíthatók. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\varrho }_1={\varrho }_0:\left(1+{\beta }_H{t}_1\right)}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\varrho }_2={\varrho }_0:\left(1+{\beta }_H{t}_2\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ mert a sűrűségek fordítva arányosak a térfogatokkal. A keresett hőkitágulási szám $\alpha$. A platina ill. higany eredeti térfogata $m/\varrho$ ill, $m_1/{\varrho }_2$, tehát az üvegcső által meghatározott térfogat $m/\varrho +m_1{\varrho }_2$. $\Delta t=t_1-t_2$ hőmérséklet emelkedés hatására a platina tágulása $m/\varrho \cdot 3\alpha \Delta t$, a higanyé $m_1/{\varrho }_0\cdot {\beta }_H\Delta t$, az üvegé $\left(m/\varrho +m_1/{\varrho }_2\right)\cdot 3{\alpha }_{\text{ü}}\Delta t$. A kifolyt higany $m_2/{\varrho }_1$ térfogatú, ez nyilván egyenlő azzal a térfogattöblettel, amennyivel többet tágult a platina és a higany, mint az üveg. Egyenletben $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m_2}{{\varrho }_1}=\frac{m}{\varrho }\cdot 3\alpha \Delta t+\frac{m_1}{{\varrho }_0}{\beta }_H\Delta t-\left(\frac{m}{\varrho }+\frac{m_1}{{\varrho }_2}\right)3{\alpha }_{\text{ü}}\Delta t\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a keresett együttható kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3a=\frac{1}{\Delta t}\frac{m_2\varrho }{m{\varrho }_1}-{\beta }_H\frac{m_1\varrho }{m{\varrho }_0}+3a_{\text{ü}}\left(1+\frac{m_1\varrho }{m{\varrho }_2}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (2) ahol ${\varrho }_1$ és ${\varrho }_2$ (1) alatti kifejezésekkel egyenlők. A végeredmény többféle formában is felírható, amelyek tartalmilag azonosak. A (2) alak azért célszerű, mert szemléletesen mutatja, hogy a mérésnél fellépő egyes jelenségek (a higany kifolyása, tágulása, az üveg tágulása) mennyiben befolyásolják a végeredményt. A numerikus számítást is eszerint végezzük. Az egyes anyagok térfogatának viszonyát jelentik a következő kifejezések: $m_1\varrho /m{\varrho }_0=3\mathrm{,}5$ és $m_2\varrho /m{\varrho }_0=1/12\mathrm{,}3$. (1) szerint a hőmérsékletváltozást figyelembe véve a viszonyszámok nem sokat változnak: $m_1\varrho /m{\varrho }_2=3\mathrm{,}51$, és $m_2\varrho /m{\varrho }_1=1/12$. Tehát a végeredmény egyes részei: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{\Delta t}\frac{m_2\varrho }{m{\varrho }_1}=\frac{1}{106}\frac{1}{12}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }=786\cdot {10}^{-6}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -{\beta }_H\frac{m_1\varrho }{m{\varrho }_0}=-3\mathrm{,}5\cdot 181\mathrm{,}5\cdot {10}^{-6}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }=-637\cdot {10}^{-6}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3{\alpha }_{\text{ü}}\left(1+\frac{m_1\varrho }{m{\varrho }_2}\right)=4\mathrm{,}51\cdot 27\cdot {10}^{-6}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }=122\cdot {10}^{-6}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Összegük $3\alpha =271\cdot {10}^{-6}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }$, tehát a vonalas hőkiterjedési szám $\alpha \simeq 9\cdot {10}^{-5}1/{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }$.   Megjegyzések: 1. Eredményünk nem felel meg a valóságnak, mert a platina hőkiterjedési száma ennek tizedrésze. Nyilvánvalóan a közölt mérési adat téves. Nem volt elfogadható olyan dolgozat, amely a számítás lépéseinek ismertetése nélkül közölte az egyébként helyes $9\cdot {10}^{-6}$ eredményt. 2. A platina tágulását úgy vettük számításba, hogy a tágulást a $t_2$ hőmérsékleten felvett térfogatához viszonyítottuk $0{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">C</span>}}^{\circ }$ helyett. Ily módon a valódi hőkiterjedési számmal nem egyező eredményt kaptunk. A hiba azonban kicsiny, a fellépő többi pontatlanság mellett nem számottevő.