Kezdőlap


Feladat:	109. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mészáros László , Németh István , Szidarovszky Ferenc , Wisnyovszky Gábor
Füzet:	1961/május, 231 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgócsiga, Összetartó erők eredője, Energia homogén gravitációs mezőben, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/január: 109. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A mozgócsiga akkor van egyensúlyban, ha a két kötélágban egyenlő nagyságú erők működnek, s ezek eredője ellentettje a terhelést adó erőnek. Egyenlő nagyságú komponensek rombusz vektorparalelogrammát képeznek, amelynek az eredőt adó átlója egyben szimmetriatengely is. Ha tehát az erők egyensúlyban vannak, a két kötélszár a függőlegessel jobbról, balról egyenlő szöget zár be.

Ezt ismerve a

D

pont helyzetét hasonló háromszögek segítségével könnyen meghatározhatjuk:

\begin{matrix} 6, 4^{2} + {(4, 8 + 2 y)}^{2} = 10^{2}, \\ innen y = 1, 44 m . \\ \frac{x}{y} = \frac{6, 4 - x}{4, 8 + y}, \frac{x}{1, 44} = \frac{6, 4 - x}{0, 24}, \\ innen x = 1, 2 m . \end{matrix}

A kötéldarabok hossza:

\begin{matrix} A D = \sqrt[]{1, 2^{2} + 1, 44^{2}} = 1, 87 m, \\ B D = 8, 13 m . \end{matrix}

Wisnyovszky Gábor (Bp., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás: A két ponton rögzített kötél a csigát ellipszis alakú pályára kényszeríti, melynek két gyújtópontja

A

és

B

, nagytengelyének hossza

10

m. A csiga az ellipszis pályának azon pontján lesz nyugalmi helyzetben, ahol helyzeti energiája a lehető legkisebb. Ez a pont az ellipszishez alulról húzott vízszintes érintő érintési pontja, mely könnyen kijelölhető, ugyanis az ellipszis érintője a fókuszok és az érintési pont által alkotott háromszög külső szögfelezője. Ennek alapján, a hasonló háromszögeket felismerve a megoldás további menete az előzővel egyezik.

Mészáros László (Bp., Piarista g. II. o, t.)

III. megoldás: Használjuk a megoldásnál a koordinátageometria módszereit. Vegyük fel a derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy benne az ellipszis középponti helyzetű legyen (l. az ábrát).

Ekkor az ellipszis egyenlete:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

, az ábra alapján a vízszintes érintő egyenlete:

y = \frac{3}{4} x + d

alakú.
A két egyenletet összekapcsolva, majd rendezve

\begin{matrix} \frac{369}{16} x^{2} - \frac{75}{2} d x + 25 d^{2} - 225 = 0. \end{matrix}

Mivel a görbének az érintővel csak egy közös pontja van, az

x

-re nézve másodfokú egyenlet két gyöke egybeesik, a diszkrimináns értéke

0

, ebből a nekünk megfelelő megoldás

d = - 4, 8

. Ezt felhasználva, az érintkezési pont abszcisszája

x = - 3, 90

, az érintési pont ordinátája

y = - 1, 87

. Így a kötéldarabok hossza

A D \approx 1, 87

B D \approx 8, 13

Szidarovszky Ferenc (Bp., Fazekas g. II. o. t.)

és Németh István (Mohács, Kisfaludy g. IV. o. t.)

Megjegyzés: A megoldást a következő egyszerű szerkesztéssel is megkaphatjuk:

10

méteres sugárral

B

-ből körívet rajzolunk, amely az

A

-ból lebocsátott függőlegest

A'

pontban metszi. Az

A A'

merőleges felezője metszi ki az

A' B

egyenesből a csiga helyét.