Kezdőlap


Feladat:	105. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fodor J. , Huber Tibor , Katona M. , Maszlag M. , Németh I. , Nováky Béla , Puha Katalin , Vesztergombi György
Füzet:	1961/április, 188 - 189. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 105. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hajítási pályák burkológörbéjének függvénye:

\begin{matrix} y = F - \frac{1}{4 F} x^{2}, ahol F = \frac{c^{2}}{2 g}, \end{matrix}

(lásd a burkológörbékről szóló, a decemberi számban közölt cikket). A burkológörbénél messzebb nem kerülhet az elhajított tárgy. A lejtő egyenesének függvénye:

y = x tg φ

A két függvény metszéspontját kell megkeresnünk. Az egyenletrendszert megoldjuk, a metszéspont

x_{0}

koordinátája:

\begin{matrix} x_{0} = - 2 F (tg φ \mp \frac{1}{cos φ}) . \end{matrix}

A burkológörbét adott pontban érintő hajítási pálya kilövési szögének tangense (az idézett cikk szerint)

\begin{matrix} tg α = \frac{2 F}{x_{0}} = - \frac{1}{tg φ \mp \frac{1}{cos φ}} . \end{matrix}

A negatív előjel a felső, a pozitív az alsó metszéspontra vonatkozik. A képletet átalakítjuk (a negatív előjelet használva):

\begin{matrix} tg α = - \frac{1}{tg φ - \frac{1}{cos φ}} = \frac{1}{\frac{1}{cos φ} - tg φ} = \frac{cos φ}{1 - sin φ} = \\ = \frac{cos^{2} \frac{φ}{2} - sin^{2} \frac{φ}{2}}{cos^{2} \frac{φ}{2} + sin^{2} \frac{φ}{2} - 2 sin \frac{φ}{2} cos \frac{φ}{2}} = \frac{(cos \frac{φ}{2} + sin \frac{φ}{2}) (cos \frac{φ}{2} - sin \frac{φ}{2})}{{(cos \frac{φ}{2} - sin \frac{φ}{2})}^{2}} = \\ = \frac{\frac{cos \frac{φ}{2}}{cos \frac{φ}{2}} + \frac{sin \frac{φ}{2}}{cos \frac{φ}{2}}}{\frac{cos \frac{φ}{2}}{cos \frac{φ}{2}} - \frac{sin \frac{φ}{2}}{cos \frac{φ}{2}}} = \frac{1 + tg \frac{φ}{2}}{1 - tg \frac{φ}{2}} = tg (45^{\circ} + \frac{φ}{2}) . \end{matrix}

Vagyis

α = 45^{\circ} + \frac{φ}{2} = φ + \frac{90^{\circ} - φ}{2}

. Ez azt jelenti, hogy a maximális hajítási távolság szöge a függőleges egyenes és a lejtő szögének felezője. Ugyanígy van ez a lefelé történő hajításnál is. A vízszintes sík esetében érvényes

45^{\circ}

-os eredmény mint speciális eset adódik.

Huber Tibor (Bp., Kossuth L. t. III. o. t.)

Megjegyzések: Nem szükséges, hogy a hajítás síkja a lejtőre merőleges sík legyen. Minden függőleges síkban ugyanez az eredmény; azonban ekkor

φ

szög a lejtő síkja és a hajítási pálya síkja által adott metszésvonalnak a vízszintessel alkotott szögét jelenti. Továbbá meg lehet mutatni, hogy a lejtőre merőleges síkban kapott, legnagyobb hajítási távolságokhoz tartozó parabolák csúcspontjait összekötve olyan egyenest kapunk, amely a függőleges egyenest minden esetben az elhajítási pont felett

F / 2

magasságban metszi és hajlásszögének tangense

tg φ / 2