Kezdőlap


Feladat:	100. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Molnár Emil
Füzet:	1961/április, 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrok, Hangmagasság (hangskálák), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 100. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A XXI. köt. 3‐4. számban közölt cikk szerint, ha egy $l$ hosszúságú húrt $P$ erővel feszítünk, alapfrekvenciája $n = k \sqrt[]{P} / l$ , ahol $k$ a feladat szempontjából állandó. Ha a feszítőerőt $P_{1}$ -gyel, a hosszúságot $l_{1}$ -gyel megnöveljük, akkor a rezgésszám $a_{1}$ -szeresére növekszik:

\begin{matrix} a_{1} n = \frac{\sqrt[]{P + P_{1}}}{l + l_{2}} k . \end{matrix}

Helyettesítsük be

n

előbb kifejezett értékét:

\begin{matrix} a_{1} \frac{\sqrt[]{P}}{l} k = \frac{\sqrt[]{P + P_{1}}}{l + l_{2}} k . \end{matrix}

Egyszerűsítés és négyzetreemelés után távolítsuk el a nevezőket:

\begin{matrix} a_{1}^{2} {(l + l_{1})}^{2} P = l^{2} (P + P_{1}), \end{matrix}

ahonnan

P

kifejezhető:

\begin{matrix} P = \frac{l^{2} P_{1}}{a_{1}^{2} {(l + l_{1})}^{2} - l^{2}} . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan, ha a húr feszítőerejét

P_{2}

-vel, hosszúságát

l_{2}

-vel növeljük, (1)-hez hasonlóan kifejezhető a

P

feszítőerő:

\begin{matrix} P = \frac{l^{2} P_{2}}{a_{2}^{2} {(l + l_{2})}^{2} - l^{2}} . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenleteket elosztva egymással, és a törteket eltávolítva

\begin{matrix} P_{2} [a_{1}^{2} {(l + l_{1})}^{2} - l^{2}] = P_{1} [a_{2}^{2} {(l + l_{2})}^{2} - l^{2}], \end{matrix}

amely

l

-ben másodfokú egyenlet. 0-ra redukálva és beszorozva:

\begin{matrix} [P_{2} {(a_{1}^{2} - 1)}^{2} - P_{1} (a_{2}^{2} - 1)] l^{2} + 2 (P_{2} a_{1}^{2} l_{1} - P_{1} a_{2}^{2} l_{2}) l + P_{2} a_{1}^{2} l_{1}^{2} - P_{1} a_{2}^{2} l_{2}^{2} = 0. \end{matrix}

(3)

Az egyenletet általános alakban nem érdemes megoldani, mert jelentős egyszerűsítés úgy sem volna elérhető. A numerikus adatok behelyettesítésével (

l_{1} = - 10

cm,

P_{1} = 4

kp,

a_{1} = 1, 5

l_{2} = - 20

cm,

P_{2} = 5

kp,

a_{2} = 2

)

l = 55, 7

cm a (3) egyenletből, amit (1)-be visszahelyettesítve

P = 7, 7

kp. A másodfokú egyenlet másik gyöke fizikailag értelmetlen eredményre vezet.

Molnár Emil (Győr, Révai g. IV. o. t.)